min 演算

$x\oplus y$ は、定義より $x,y$ のうち小さい方(正確には、$x=y$ の場合、小さい方は存在しないので、「大きくない方」と表現するほうが適切だが、便宜上「小さい方」と表現する。）であるので、明らかに交換則
$$\begin{array}{r}x\oplus y=y\oplus x\end{array}$$
を満たす。

また、結合則
$$\begin{array}{r}(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)\end{array}$$
に関しても、両辺ともに、$x,y,z$ のうち一番「小さい」ものとなるので、交換則を満たす。

また、この演算 $\oplus$ に単位元 $e$ が存在すると仮定する。
このとき、任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して
$$\begin{array}{rl}x\oplus e& =e\oplus x=x\end{array}$$
となるが、$x=e+1\in \mathbb{R}$ と取れば
$$\begin{array}{rl}x\oplus e& =\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{e+1,e\}\\ & =e\ne x\end{array}$$
となり、先の式に矛盾する。従って、この演算 $\oplus$ に関する単位元は存在しない。