4次交代群

(a)
$A_4$ の元は
$$\begin{array}{rl}{A}_4& =\{e=(1234),\\ & (34)\circ (12)=(2143),\\ & (13)\circ (12)=(2314),\\ & (14)\circ (12)=(2431),\\ & (24)\circ (23)=(1342),\\ & (34)\circ (23)=(1423),\\ & (23)\circ (12)=(3124),\\ & (24)\circ (12)=(4132),\\ & (24)\circ (13)=(3412),\\ & (34)\circ (13)=(4213),\\ & (23)\circ (14)=(4321),\\ & (34)\circ (14)=(3241)\}\end{array}$$
の12個からなる。

これらを使って、$x\in G$ とするとき、$g\circ x\circ g^{-1}(g\in G)$ を計算することにより、$A_4$ の共役類が
$$\begin{array}{rl}{C}_1& =\{e\}\\ C_2& =\{(34)\circ (12),(23)\circ (14),(24)\circ (13)\}\\ C_3& =\{(13)\circ (12),(24)\circ (12),(34)\circ (23),(34)\circ (14)\}\\ C_4& =\{(14)\circ (12),(23)\circ (12),(24)\circ (23),(34)\circ (13)\}\end{array}$$
の4つがあることが分かる。

(b)

先の問題より、もしも、位数が 6 の $A_4$ の部分群 $H$ があるとすると、$H$ の指数は 2 となり、部分群 $H$ は正規部分群となる。

従って、正規部分群 $H$ の任意の元 $h\in H$ の共役類 $O(h)$ は $H$ に含まれることが分かる。

今、(a) により、$A_4$ の共役類は $C_1,C_2,C_3,C_4$ の4つであり、それぞれの元の数は 1, 3, 4, 4 であった。
$H$ は部分群であるので、単位元を必ず含むので $C_1\subset H$ である。
ここで、$|H|=6$ となるように、互いに共通部分を持たない共役類 $C_2,C_3,C_4$ の和集合を作ることが出来ないことに注意すれば、位数 6 の部分群を持たないことが分かる。

(c)

ラグランジュの定理より、$A_4$ の部分群の位数として考えられるのは、1, 2, 3, 4, 6, 12 であるが、(b) より位数 6 の部分群は存在しないことが示されているので、1, 2, 3, 4, 12 の5つの候補が考えられる。

明らかに位数 1 の部分群は $\{e\}$ であり、位数 12 の部分群は $A_4$ そのものである。
もちろん、この2つの部分群は正規部分群である。

位数2の部分群は
$$\begin{array}{r}\{e,(34)\circ (12)\}\\ \{e,(24)\circ (13)\}\\ \{e,(23)\circ (14)\}\end{array}$$
の3つである。

また、位数3の部分群は
$$\begin{array}{r}\{e,(13)\circ (12),(23)\circ (12)\}\\ \{e,(14)\circ (12),(24)\circ (12)\}\\ \{e,(24)\circ (23),(34)\circ (23)\}\\ \{e,(34)\circ (13),(34)\circ (14)\}\end{array}$$
の4つである。
さらに、位数4の部分群は
$$\begin{array}{rl}V& =\{e,(34)\circ (12),(24)\circ (13),(23)\circ (14)\}\end{array}$$
の1つである。

この中で正規部分群となるのは、(b) の議論と同様にして、位数2と3の正規部分群は存在しないことと、$V=C_1\coprod C_2$ であることに注意して
$$\begin{array}{r}\{e\},V,A_4\end{array}$$
の3つであることが分かる。