$A_4$ を4次交代群とする。
(a) $A_4$ の共役類をすべて求めよ。
(b) $A_4$ には位数 6 の部分群は存在しないことを示せ。
(c) $A_4$ の部分群をすべて求めよ。その中で正規部分群はどれか？
(a)
$A_4$ の元は
\begin{align}
A_4 &= \{e = (1\ 2\ 3\ 4), \\
&\ \ \ (3\ 4) \circ (1\ 2) = (2\ 1\ 4\ 3), \\
&\ \ \ (1\ 3) \circ (1\ 2) = (2\ 3\ 1\ 4), \\
&\ \ \ (1\ 4) \circ (1\ 2) = (2\ 4\ 3\ 1), \\
&\ \ \ (2\ 4) \circ (2\ 3) = (1\ 3\ 4\ 2), \\
&\ \ \ (3\ 4) \circ (2\ 3) = (1\ 4\ 2\ 3), \\
&\ \ \ (2\ 3) \circ (1\ 2) = (3\ 1\ 2\ 4), \\
&\ \ \ (2\ 4) \circ (1\ 2) = (4\ 1\ 3\ 2), \\
&\ \ \ (2\ 4) \circ (1\ 3) = (3\ 4\ 1\ 2), \\
&\ \ \ (3\ 4) \circ (1\ 3) = (4\ 2\ 1\ 3), \\
&\ \ \ (2\ 3) \circ (1\ 4) = (4\ 3\ 2\ 1), \\
&\ \ \ (3\ 4) \circ (1\ 4) = (3\ 2\ 4\ 1)\}
\end{align}
の12個からなる。
これらを使って、$x \in G$ とするとき、$g \circ x \circ g^{-1}\ (g \in G)$ を計算することにより、$A_4$ の共役類が
\begin{align}
C_1 &= \{e\} \\
C_2 &= \{(3\ 4) \circ (1\ 2), (2\ 3) \circ (1\ 4), (2\ 4) \circ (1\ 3)\} \\
C_3 &= \{(1\ 3) \circ (1\ 2), (2\ 4) \circ (1\ 2), (3\ 4) \circ (2\ 3), (3\ 4) \circ (1\ 4)\} \\
C_4 &= \{(1\ 4) \circ (1\ 2), (2\ 3) \circ (1\ 2), (2\ 4) \circ (2\ 3), (3\ 4) \circ (1\ 3)\}
\end{align}
の4つがあることが分かる。
(b)
先の問題より、もしも、位数が 6 の $A_4$ の部分群 $H$ があるとすると、$H$ の指数は 2 となり、部分群 $H$ は正規部分群となる。
従って、正規部分群 $H$ の任意の元 $h \in H$ の共役類 $O(h)$ は $H$ に含まれることが分かる。
今、(a) により、$A_4$ の共役類は $C_1, C_2, C_3, C_4$ の4つであり、それぞれの元の数は 1, 3, 4, 4 であった。
$H$ は部分群であるので、単位元を必ず含むので $C_1 \subset H$ である。
ここで、$|H| = 6$ となるように、互いに共通部分を持たない共役類 $C_2, C_3, C_4$ の和集合を作ることが出来ないことに注意すれば、位数 6 の部分群を持たないことが分かる。
(c)
ラグランジュの定理より、$A_4$ の部分群の位数として考えられるのは、1, 2, 3, 4, 6, 12 であるが、(b) より位数 6 の部分群は存在しないことが示されているので、1, 2, 3, 4, 12 の5つの候補が考えられる。
明らかに位数 1 の部分群は $\{e\}$ であり、位数 12 の部分群は $A_4$ そのものである。
もちろん、この2つの部分群は正規部分群である。
位数2の部分群は
\begin{align}
\{e, (3\ 4) \circ (1\ 2)\} \\
\{e, (2\ 4) \circ (1\ 3)\} \\
\{e, (2\ 3) \circ (1\ 4)\}
\end{align}
の3つである。
また、位数3の部分群は
\begin{align}
\{e, (1\ 3) \circ (1\ 2), (2\ 3) \circ (1\ 2)\} \\
\{e, (1\ 4) \circ (1\ 2), (2\ 4) \circ (1\ 2)\} \\
\{e, (2\ 4) \circ (2\ 3), (3\ 4) \circ (2\ 3)\} \\
\{e, (3\ 4) \circ (1\ 3), (3\ 4) \circ (1\ 4)\}
\end{align}
の4つである。
さらに、位数4の部分群は
\begin{align}
V&= \{e, (3\ 4) \circ (1\ 2), (2\ 4) \circ (1\ 3), (2\ 3) \circ (1\ 4)\}
\end{align}
の1つである。
この中で正規部分群となるのは、(b) の議論と同様にして、位数2と3の正規部分群は存在しないことと、$V = C_1 \coprod C_2$ であることに注意して
\begin{align}
\{e\}, V, A_4
\end{align}
の3つであることが分かる。
