2変数多項式環から生成されるイデアル

$(X,Y)$ が単項イデアルとして $K[X,Y]$ の 0 でない元 $h(X,Y)$ で生成されるとする。
すなわち、
$$\begin{array}{r}(X,Y)=(h(X,Y))\end{array}$$
とする。
このとき、ある $f(X,Y),g(X,Y)\in K[X,Y]$ が存在して
$$\begin{array}{rl}X& =f(X,Y)h(X,Y)\\ Y& =g(X,Y)h(X,Y)\end{array}$$
が成り立つ。

第1式の $X$ の次数に着目すると
$$\begin{array}{rl}h(X,Y)& =aX+b(a,b\in K)\end{array}$$
が言える。同様に第2式において $Y$ の次数に着目すると
$$\begin{array}{rl}h(X,Y)& =cY+d(c,d\in K)\end{array}$$
が言える。

従って、$f(X,Y)=b_0(b_0\in K\mathrm{\setminus }\{0\})$ となる。

このとき、$(X,Y)=(b_0)$ が成り立つことになるが、これは $b_0\notin (X,Y)$ と矛盾する。

従って、題意が示された。