代数学

部分群の対応

 

G,G′ を群とし、f:G→G′ を全射な準同型写像とする。

(a) H が G の部分群のとき、f(H)≡{f(h)|h∈H} は G′ の部分群であることを示せ。
また、N が正規部分群であるとき、f(N)≡{f(n)|n∈N} は G′ の正規部分群であることを示せ。

(b) H′ が G′ の部分群のとき、f−1(H′)≡{x∈G|f(x)∈H′} は G の部分群であり、Kerf⊂f−1(H′) となることを示せ。
また、N′ が G′ の正規部分群のとき、f−1(N′)≡{x∈G|f(x)∈N′} は G の正規部分群であり、Kerf⊂f−1(N′) となることを示せ。

(c) S を G の部分群で Kerf を含むものの全体のなす集合とし、S′ を G′ の部分群全体のなす集合とする。
また、T を G の正規部分群で Kerf を含むものの全体のなす集合とし、T′ を G′ の正規部分群全体のなす集合とする。
このとき
φ:S→S′, H↦f(H),ψ:T→T′, N↦f(N)
はいずれも全単射であることを示せ。
また、φ の逆写像は H′∈S′ に f−1(H′)∈S を対応させる写像であり、ψ の逆写像は N′∈T′ に f−1(N′)∈T を対応させる写像であることを示せ。

(a)
H は G の部分群であるので、単位元 e∈G を含み、準同型写像 f によって、G′ の単位元 e′ に移される。
従って、f(H)≡{f(h)|h∈H} は空でない G′ の部分集合である。

a′,b′∈G′ を f(H) の任意の元とする。
このとき、ある a,b∈H が存在して、f(a)=a′,f(b)=b′ が成り立つ。
従って
a′∘′b′=f(a)∘′f(b)=f(a∘b)∈f(H)
であり、さらに
a′−1=f(a)−1=f(a−1)∈H
である。ここで、H が G の部分群であることと、f が準同型写像であることを用いた。
また、群 G での演算を ∘ で表し、群 G′ での演算を ∘′ で表した。

従って、f(H) は G′ の部分群であることが言える。

次に N を G の正規部分群とする。
先の議論により、f(N) は G′ の部分群であることが言えるので、以下で f(N) が G′ の正規部分群であることを示す。
任意の元 g′∈G′ と n′=f(n)∈f(N), (n∈N) に対して
g′∘′n′∘′g′−1=f(g)∘′f(n)∘′f(g)−1=f(g)∘′f(n)∘′f(g−1)=f(g∘n∘g−1)∈f(N)
が成り立つ。ここで、f が全射であることから、ある g∈G が存在して f(g)=g′ となること、及び、f が準同型写像であること、さらに、N が G の正規部分群であることを用いた。

従って、f(N) は G′ の正規部分群である。

(b)
H′ は G′ の部分群であるので単位元 e′∈G′ を含む。
従って f−1(H′)≡{x∈G|f(x)∈H′} は空ではない。
（実際に単位元 e∈G を含む。）

a,b を f−1(H′) の任意の元とする。
このとき、ある a′,b′∈H′ が存在して a′=f(a),b′=f(b) が成り立つ。
従って
a′∘′b′=f(a)∘′f(b)=f(a∘b)
となり、a∘b∈f−1(H) が言える。

さらに
a′−1=f(a)−1=f(a−1)
より、a−1∈f−1(H) も言える。

従って、f−1(H′) は G の部分群であると言える。
さらに、x∈Kerf を考えれば
f(x)=e′∈H′
であるので、x∈f−1(H′) つまり Kerf⊂f−1(H′) が言える。

次に、N′ を G′ の正規部分群であるとする。
このとき、先の議論により、f−1(N′) は G の部分群となり、Kerf⊂f−1(N′) が言える。
以下で、f−1(N′) が G の正規部分群であることを示す。

任意の元 g∈G と f(n)=n′∈f−1(N′), (n′∈N′) に対して、f(g)=g′ とすると
g′∘′n′∘′g′−1=f(g)∘′f(n)∘′f(g)−1=f(g)∘′f(n)∘′f(g−1)=f(g∘n∘g−1)
が成り立つので、g∘n∘g−1∈f−1(N′) が言える。
ここで、N が G の正規部分群であることを用いた。

従って、f−1(N′) は G の正規部分群であると言える。

(c)
先ず、(a) の議論により写像 φ:S→S′ を定義することが出来る。
さらに (b) の議論により H′∈S′ に f−1(H′)∈S を対応させる写像 φ′ を定義することが出来る。
ここで、φ:S→S′ が全単射であることは、任意の H∈S,H′∈S′ に対して、φ′(φ(H))=H,φ(φ′(H′))=H′ が言えれば良い。

先ず、φ′(φ(H))=H を示す。
これは f−1(f(H))=H なる関係を表している。
任意の h∈H に対して、f−1(f(h))=h より f−1(f(H))⊃H が言える。
逆に任意の元 g∈f−1(f(H)) に対して、f(g)∈f(H) より f(g)=f(h) となるような h∈H が存在する。
このとき、f(h−1∘g)=f(h)−1∘′f(g)=f(g)−1∘′f(g)=e′ より h−1∘g∈Kerf が言える。
さらに Kerf⊂H なので g∈H が言える。
ここで H が部分群であることを使った。
従って f−1(f(H))=H が成り立つ。

さらに、φ(φ′(H′))=H′ は f が全射であることから明らかである。

これより、写像 φ は全単射であり、その逆写像が H′∈S′ に f−1(H′)∈S を対応させるものであることも分かる。

写像 T に関しても全く同様の議論が成り立ち、題意が示される。

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