自己同型群の性質

$G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の元として、$e = (0, 0), a = (1, 0), b = (0, 1), c = (1, 1)$ の４つの元を考える。ここで、$G$ の元はこの４つに限られる。

任意の ${\rm Aut}(G)$ の元 $f$ は準同型写像であるので、$G$ の零元である $e$ を $e$ に移す。
すなわち、$f(e) = e$ となる。
従って、$f$ は零元 $e$ 以外の元 $\{a, b, c\}$ の置換を与える。
この対応により写像 $\phi: {\rm Aut}(G) \rightarrow S_3$ を作ることが出来る。
あからさまに、写像 $\phi$ を書けば $f \in {\rm Aut}(G)$ に対して
\begin{align}
\phi(f)(e) &= e \\
\phi(f)(a) &= f(a) \\
\phi(f)(b) &= f(b) \\
\phi(f)(c) &= f(c)
\end{align}
となる。

このとき、写像 $\phi$ は群の同型写像となっていることが分かる。
すなわち、$f_1, f_2 \in {\rm Aut}(G)$ とするとき
\begin{align}
\phi(f_2 \circ f_1) &= \phi(f_2) \bullet \phi(f_1)
\end{align}
となり、群の準同型写像であることが分かり、さらに、$\phi$ は全単射である。

従って
\begin{align}
{\rm Aut}(G) \cong S_3
\end{align}
が言える。