群$G$に対する$G$軌道の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$p$ を素数とし、位数 $p$ の群 $G$ が空でない有限集合 $X$ に作用しているとする。
$| X |$ が $p$ の倍数でないとき、 $x \in X$ で $| O (x) | = 1$ 、すなわち、任意の $g \in G$ に対して、 $g \circ x = x$ となるものが存在することを示せ。

有限群 $G$ が空でない集合 $X$ に作用するとき、 $G$ 軌道と固定部分軍 $G_{x}$ に対して
$\begin{aligned} | O (x) | & = | G / G_{x} | = | G | / | G_{x} | \end{aligned}$
が成り立つ。

今、 $| G | = p$ ( $p$ は素数)であり、 $G_{x}$ は $G$ の部分群であるので $| G_{x} | = 1$ または $| G_{x} | = p$ である。
ここで、全ての $x \in X$ に対して $| G_{x} | = 1$ とすると $| O (x) | = | G | = p$ となり、 $| X | = m | O (x) |, (m = 1, 2, 3, \dots)$ が言える。
これは、 $| X |$ が $p$ の倍数であることと矛盾する。
従って、ある $x \in X$ が存在して、 $| G_{x} | = p$ となる。
この $x \in X$ に対して、 $| O (x) | = 1$ となり、すなわち、任意の $g \in G$ に対して、 $g \circ x = x$ が成り立つ。