群の同型写像｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

群の準同型写像 $f : G \to G^{'}$ が同型写像であることと、群の準同型写像 $g : G^{'} \to G$ が存在して、 $f \circ g = {i d}_{G^{'}}$ かつ $g \circ f = {i d}_{G}$ となることが同値であることを示せ。

群の準同型写像 $f : G \to G^{'}$ が同型写像であるとき、写像 $f$ は全単射であるので、任意の $a^{'} \in G^{'}$ に対して $f (a) = a^{'}$ となる $a \in G$ が唯一つ存在する。従って、 $G^{'}$ から $G$ への写像 $g : G^{'} \to G$ を $g : a^{'} \mapsto a$ と定義すれば
$\begin{aligned} f \circ g (a^{'}) & = f (a) \\ = a^{'} \end{aligned}$
となり、 $f \circ g = {i d}_{G^{'}}$ となることが分かる。

また、この写像 $g$ は準同型写像である。なんとなれば、 $f (a) = a^{'}, f (b) = b^{'} (a, b \in G, a^{'}, b^{'} \in G^{'})$ とすると
$\begin{aligned} g (a^{'}) & = a \\ g (b^{'}) & = b \end{aligned}$
であるが、 $f$ が準同型写像であるので
$\begin{aligned} f (a ∙ b) & = f (a) ∙^{'} f (b) \\ = a^{'} ∙^{'} b^{'} \end{aligned}$
が成り立ち、これは
$\begin{aligned} g (a^{'} ∙^{'} b^{'}) & = a ∙ b \\ = g (a^{'}) ∙ g (b^{'}) \end{aligned}$
を意味するので、 $g$ は準同型写像であると言える。ここに $G$ での演算を $∙$ 、 $G^{'}$ での演算を $∙^{'}$ と書いた。

全く同様に、任意の $g \in G$ に対して、 $g \circ f (a) = g (a^{'}) = a$ となり、 $g \circ f = {i d}_{G}$ が言える。

また、逆に、 $f \circ g = {i d}_{G^{'}}, g \circ f = {i d}_{G}$ となるような準同型写像 $g$ が存在すると仮定する。

このとき、写像 $g$ は全射である。
なんとなれば、任意の $a^{'} \in G^{'}$ に対して $f \circ g (a^{'}) = a^{'}$ より $g (a^{'}) \in G$ を取れば $f (g (a^{'})) = a^{'}$ となるからである。

さらに、写像 $g$ は単射である。
なんとなれば、任意の $a^{'}, b^{'} \in G^{'}$ に対して $g (a^{'}) = g (b^{'})$ とすると
$\begin{aligned} f (g (a^{'})) & = f (g (b^{'})) \\ a^{'} & = b^{'} \end{aligned}$
となるからである。