群の元の位数(2)

$x\circ y$ の位数を $L$ とする。すなわち
$$\begin{array}{rl}(x\circ y{)}^L& =e\end{array}$$
とする。

このとき、$y^{mL}$ を計算すると
$$\begin{array}{rl}{y}^{mL}& =x^{mL}\circ y^{mL}\\ & =(x\circ y{)}^{mL}\\ & =e^m\\ & =e\end{array}$$
がなりたつ。ここで $x^{mL}=(x^m{)}^L=e$ を用いた。

従って、$mL$ は $n$ の倍数であるが、$m,n$ は互いに素であるので $L$ は $n$ の倍数であることが言える。

また、$x^{nL}$ を計算すると
$$\begin{array}{rl}{x}^{nL}& =x^{nL}\circ y^{nL}\\ & =(x\circ y{)}^{nL}\\ & =e\end{array}$$
となり、$nL$ は $m$ の倍数であるが、$m,n$ は互いに素であるので、$L$ は $m$ の倍数であることが言える。

従って、$L$ は $mn$ の倍数であることが分かる。

一方で、$(x\circ y{)}^{mn}=x^{mn}\circ y^{mn}=e$ であることから、$L=mn$ であることが分かる。