群の元の位数

$k$ を $m$ で割ることにより $k=qm+r(0\le r<m)$ を表すことが出来る。

このとき、指数法則より
$$\begin{array}{rl}{x}^r& =x^{k–qm}\\ & =x^k\circ x^{-qm}\\ & =x^k\circ (x^m{)}^{-q}\\ & =e\circ e\\ & =e\end{array}$$
となる。
$m$ は $x^m=e$ となる最小の正の整数であるので、$r=0$ でなくてはならない。

すなわち、$k=qm$ となり、$k$ は $m$ の倍数となる。