群における指数法則

$n,m\in \mathbb{Z}$ について場合分けをして示す。

最初に第1式を示す。

先ず、$n=m=0$ の時には、累乗の定義から $x^0=e$ であるので、明らかに上記の第1式は成立する。

次に、$n>0,m>0$ の場合を考える。
$x^{n+m}$ は、$x\circ x\circ \cdots \circ x$ と $x$ を $n+m$ 個演算させたものである。
一方で、$x^n\circ x^m$ は、$(x\circ \cdots \circ x)\circ (x\circ \cdots \circ x)$ となり、$x$ を $n$ 個と $m$ 個演算させたものであるので、第1式が成り立つことが分かる。

次に、$n<0,m>0$ の場合を考える。
もし、$n+m\ge 0$ の場合には、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}{x}^{-n}\circ x^{n+m}& =x^m\end{array}$$
が成り立つので、この式の左から $x^n$ をかけることにより、第1式を得る。

さらに、$n+m<0$ の場合には、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}{x}^m\circ x^{-(n+m)}& =x^{-n}\end{array}$$
が成り立つので、両辺に左から $x^n$、右から $x^{n+m}$ をかけることにより、第1式を得る。

$n>0,m<0$ の場合には、$m$ と $n$ を入れ替えた議論から、やはり第1式が成り立つことが分かる。

$n<0,m<0$ の場合には、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}{x}^{-(m+n)}& =x^{-m}\circ x^{-n}\end{array}$$
が成り立ち、右より $x^{n+m}$、左より、$x^n\circ x^m$ をかけることにより第1式を得る。

これにより、$n,m\in \mathbb{Z}$ のすべての場合について、第1式が成立することが示された。

次に、第2式を示す。

$n=m=0$ の場合には、$x^0=e$ より、明らかに第2式は成り立つ。

$n>0,m>0$ の場合には、$(x^n{)}^m=(x\circ \cdots \circ x)\circ \cdots \circ (x\circ \cdots \circ x)$ となり、$x$ を $nm$ 個かけ合わせたものとなり、これは $x^{nm}$ に等しい。
従って、第2式が成り立つ。

次に $n<0,m>0$ の場合には、$x^n=(x^{-1}{)}^{-n},x^{nm}=(x^{-1}{)}^{-nm}$ に注意すれば、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}(x^n{)}^m& =((x^{-1}{)}^{-n}{)}^m\\ & =(x^{-1}{)}^{-nm}\\ & =x^{nm}\end{array}$$
となり、第2式が成り立つ。

次に、$n>0,m<0$ の場合には、$x^m=(x^{-1}{)}^{-m},x^{nm}=(x^{-1}{)}^{-nm}$ に注意すれば、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}(x^n{)}^m& =((x^n{)}^{-1}{)}^{-m}\\ & =((x^{-1}{)}^n{)}^{-m}\\ & =(x^{-1}{)}^{-nm}\\ & =x^{nm}\end{array}$$
となり、第2式が成り立つ。

さらに、$n<0,m>0$ の場合には、$x^n=(x^{-1}{)}^{-n},x^{nm}=(x^{-1}{)}^{-nm}$ に注意すれば、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}(x^n{)}^m& =((x^{-1}{)}^{-n}{)}^m\\ & =(x^{-1}{)}^{-nm}\\ & =x^{nm}\end{array}$$
が成り立つ。

最後に、$n<0,m<0$ の場合には、$x^m=(x^{-1}{)}^{-m}$ に注意すれば、先に示した事実より
$$\begin{array}{rl}(x^n{)}^m& =((x^n{)}^{-1}{)}^{-m}\\ & =(x^{-n}{)}^{-m}\\ & =x^{nm}\end{array}$$
が成り立つ。

従って、第2式も全ての $n,m\in \mathbb{Z}$ に対して成り立つことが分かる。