$S$ を正の整数全体のなす集合とする。
このとき、$a, b \in S$ に対して、
\begin{align}
a \circ b \equiv a^b \in S
\end{align}
という演算「$\circ$」を定義する。
(a) $S$ の演算 「$\circ$」 は結合則を満たさないことを示せ。
(b) $S$ の4つの元 $x, y, z, w$ に演算を施す組み合わせは
\begin{align}
&((x \circ y) \circ z)\circ w \\
&(x \circ (y \circ z)) \circ w \\
&x \circ ((y \circ z) \circ w) \\
&x \circ (y \circ (z \circ w)) \\
&(x \circ y) \circ (z \circ w)
\end{align}
の5種類存在する。$x = y = z = w = 10$ のとき、これら5つの元の大小関係を調べよ。
(a)
$a, b, c \in S$ に対して、
\begin{align}
(a \circ b) \circ c &= (a^b) \circ c \\
&= (a^b)^c \\
a \circ (b \circ c) &= a \circ b^c \\
&= a^{(b^c)}
\end{align}
となる。例えば、$a = 2, b = 3, c = 2$ とすれば
\begin{align}
(a \circ b) \circ c &= (2^3)^2 \\
&= 64 \\
a \circ (b \circ c) &= 2^{(3^2)} \\
&= 512
\end{align}
となり、一般にはこの演算「$\circ$」は結合則を満たさないことが分かる。
(b)
5種類の演算を施した結果は
\begin{align}
((x \circ y) \circ z) \circ w &= ((x^y) \circ z) \circ w \\
&= ((x^y)^z \circ w) \\
&= ((x^y)^z)^w \\
(x \circ (y \circ z)) \circ w &= (x \circ (y^z)) \circ w \\
&= x^{(y^z)} \circ w \\
&= (x^{(y^z)})^w \\
x \circ ((y \circ z) \circ w) &= x \circ ((y^z) \circ w) \\
&= x \circ ((y^z)^w) \\
&= x^{((y^z)^w)} \\
x \circ (y \circ (z \circ w)) &= x \circ (y \circ (z^w)) \\
&= x \circ (y^{(z^w)}) \\
&= x^{(y^{(z^w)})} \\
(x \circ y) \circ (z \circ w) &= (x^y) \circ (z^w) \\
&= (x^y)^{(z^w)}
\end{align}
となる。これらに、$x = y = z = w = 10$ を代入すれば
\begin{align}
((x \circ y) \circ z) \circ w &= ((x^y)^z)^w \\
&= ((10^{10})^{10})^{10} \\
&= 10^{1000} \\
&= X^{100} \\
(x \circ (y \circ z)) \circ w &= (x^{(y^z)})^w \\
&= (10^{({10}^{10})})^{10} \\
&= 10^{(10^{11})} \\
&= 10^{10 X} \\
x \circ ((y \circ z) \circ w) &= x^{((y^z)^w)} \\
&= 10^{((10^{10})^{10})} \\
&= 10^{(10^{100})} \\
&= 10^{(X^{10})} \\
x \circ (y \circ (z \circ w)) &= x^{(y^{(z^w)})} \\
&= 10^{(10^{(10^{10})}} \\
&= 10^{(10^X)} \\
(x \circ y) \circ (z \circ w) &= (x^y)^{(z^w)} \\
&= (10^{10})^{(10^{10})} \\
&= (10^{10})^{(10^{10})} \\
&= X^X
\end{align}
ここに、$10^{10} = 10,000,000,000 = X$ と置いた。
上記の値の $\log$ のさらに $\log$ をとると（底を10とする）、上から順に
\begin{align}
& 4 \\
& 11 \\
& 100 \\
& 10^{10} \\
& 11
\end{align}
となるので
\begin{align}
((x \circ y) \circ z) < (x \circ (y \circ z)) \circ w = (x \circ y) \circ (z \circ w) < x \circ ((y \circ z) \circ w) < x \circ (y \circ (z \circ w))
\end{align}
となる。
