結合則を満たさない演算

(a)
$a,b,c\in S$ に対して、
$$\begin{array}{rl}(a\circ b)\circ c& =(a^b)\circ c\\ & =(a^b{)}^c\\ a\circ (b\circ c)& =a\circ b^c\\ & =a^{(b^c)}\end{array}$$
となる。例えば、$a=2,b=3,c=2$ とすれば
$$\begin{array}{rl}(a\circ b)\circ c& =(2^3{)}^2\\ & =64\\ a\circ (b\circ c)& =2^{(3^2)}\\ & =512\end{array}$$
となり、一般にはこの演算「$\circ$」は結合則を満たさないことが分かる。

(b)
5種類の演算を施した結果は
$$\begin{array}{rl}((x\circ y)\circ z)\circ w& =((x^y)\circ z)\circ w\\ & =((x^y{)}^z\circ w)\\ & =((x^y{)}^z{)}^w\\ (x\circ (y\circ z))\circ w& =(x\circ (y^z))\circ w\\ & =x^{(y^z)}\circ w\\ & =(x^{(y^z)}{)}^w\\ x\circ ((y\circ z)\circ w)& =x\circ ((y^z)\circ w)\\ & =x\circ ((y^z{)}^w)\\ & =x^{((y^z{)}^w)}\\ x\circ (y\circ (z\circ w))& =x\circ (y\circ (z^w))\\ & =x\circ (y^{(z^w)})\\ & =x^{(y^{(z^w)})}\\ (x\circ y)\circ (z\circ w)& =(x^y)\circ (z^w)\\ & =(x^y{)}^{(z^w)}\end{array}$$
となる。これらに、$x=y=z=w=10$ を代入すれば
$$\begin{array}{rl}((x\circ y)\circ z)\circ w& =((x^y{)}^z{)}^w\\ & =(({10}^{10}{)}^{10}{)}^{10}\\ & ={10}^{1000}\\ & =X^{100}\\ (x\circ (y\circ z))\circ w& =(x^{(y^z)}{)}^w\\ & =({10}^{({10}^{10})}{)}^{10}\\ & ={10}^{({10}^{11})}\\ & ={10}^{10X}\\ x\circ ((y\circ z)\circ w)& =x^{((y^z{)}^w)}\\ & ={10}^{(({10}^{10}{)}^{10})}\\ & ={10}^{({10}^{100})}\\ & ={10}^{(X^{10})}\\ x\circ (y\circ (z\circ w))& =x^{(y^{(z^w)})}\\ & ={10}^{({10}^{({10}^{10})}}\\ & ={10}^{({10}^X)}\\ (x\circ y)\circ (z\circ w)& =(x^y{)}^{(z^w)}\\ & =({10}^{10}{)}^{({10}^{10})}\\ & =({10}^{10}{)}^{({10}^{10})}\\ & =X^X\end{array}$$
ここに、${10}^{10}=10,000,000,000=X$ と置いた。
上記の値の $\log$ のさらに $\log$ をとると（底を10とする）、上から順に
$$\begin{array}{rl}& 4\\ & 11\\ & 100\\ & {10}^{10}\\ & 11\end{array}$$
となるので
$$\begin{array}{r}((x\circ y)\circ z)<(x\circ (y\circ z))\circ w=(x\circ y)\circ (z\circ w)<x\circ ((y\circ z)\circ w)<x\circ (y\circ (z\circ w))\end{array}$$
となる。