直交群｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$n$ 次の実直交行列の全体
$\begin{aligned} O (n) & = {T \in G L_{n} (R) |^{t} T T = E_{n}} \end{aligned}$
は、行列の乗法に関して群をなすことを示せ。
このとき、 $O (n)$ を直交群という。

先ず、 $^{t} T T = E_{n}$ が成り立つ時、 $T^{t} T = E_{n}$ も成り立つことが次のようにして分かる。
$d e t (^{t} T T) = d e t E_{n} = 1$ より、任意の $T \in O (n)$ に対して逆行列 $T^{- 1}$ が存在する。
従って、
$\begin{aligned} ^{t} T T & = E_{n} \\ (^{t} T T) T^{- 1} & = T^{- 1} \\ ^{t} T (T T^{- 1}) & = T^{- 1} \\ ^{t} T & = T^{- 1} \\ T^{t} T & = T T^{- 1} \\ T^{t} T & = E_{n} \end{aligned}$
が示される。

これは
$\begin{aligned} ^{t} (^{t} T) (^{t} T) & = E_{n} \end{aligned}$
を意味するので、 $T \in O (n)$ のとき、 $T^{- 1} =^{t} T$ は、 $O (n)$ のなかに存在する。

単位元は $E_{n} \in O (n)$ である。

また、 $T_{1}, T_{2} \in O (n)$ であるとき、 $T_{1} T_{2}$ は
$\begin{aligned} ^{t} (T_{1} T_{2}) (T_{1} T_{2}) & =^{t} T_{2}^{t} T_{1} T_{1} T_{2} \\ =^{t} T_{2} E_{n} T_{2} \\ = E_{n} \end{aligned}$
より、 $T_{1} T_{2} \in O (n)$ であることが分かる。