準同型定理の応用(1)

(a)
$x,y\in \mathbb{R}$ とする。このとき、
$$\begin{array}{rl}f(x+y)& ={\mathrm{e}}^{2\pi \sqrt{-1}(x+y)}\\ & ={\mathrm{e}}^{2\pi \sqrt{-1}x}\cdot {\mathrm{e}}^{2\pi \sqrt{-1}y}\\ & =f(x)\cdot f(y)\end{array}$$
となるので、$f$ は準同型写像である。ここで、$\mathbb{R}$ における加法を「$+$」、${\mathbb{C}}^{\times }$ における乗法を「$\cdot$」で表した。

(b)
$\mu$ は $x\in \mathbb{R}$ とするとき、${\mathrm{e}}^{2\pi \sqrt{-1}x}$ の全体である。
これは、絶対値が1である複素数全体に等しい。
すなわち
$$\begin{array}{rl}\mu & =\{z\in {\mathbb{C}}^{\times }||z|=1\}\end{array}$$
となる。

(c)
$f$ に準同型定理を用いるために、$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$ を求める。
${\mathbb{C}}^{\times }$ の乗法を演算とする単位元は1であるので、$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f=\mathbb{Z}$ となる。
従って、準同型定理より
$$\begin{array}{rl}\mathbb{R}/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f& \cong \mathrm{I}\mathrm{m}f\\ \mathbb{R}/\mathbb{Z}& \cong \{z\in {\mathbb{C}}^{\times }||z|=1\}\end{array}$$
が言える。