有限群$G$の集合$X$への作用｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$n$ を正の整数とする。
有限群 $G$ が集合 $X = {1, 2, \dots, n}$ に作用しているとする。

(a) 作用が推移的なとき（すなわち、任意の $i, j \in X$ に対して、 $g \cdot i = j$ となる $g \in G$ が存在するとき)、 $G$ の位数 $| G |$ は $n$ の倍数であることを示せ。

(b) 任意の $i, j, k, l \in X$ で $i \neq j$ かつ $k \neq l$ であるものに対して、 $g \cdot i = k$ かつ $g \cdot j = l$ となる　 $g \in G$ が存在すると仮定する。
このとき、 $G$ の位数 $| G |$ は $n (n - 1)$ の倍数であることを示せ。

(a)
有限群 $G$ が空でない集合 $X$ に作用しているとき、任意の $x \in X$ に対して
$\begin{aligned} | O (x) | & = | G / G_{x} | \\ | G | & = | O (x) | | G_{x} | \end{aligned}$
が成り立つ。

このとき、作用が推移的であるので、 $O (x) = X$ すなわち、 $| O (x) | = | X |$ が成り立つ。
従って、
$\begin{aligned} | G | & = | X | | G_{x} | \\ = n | G_{x} | \end{aligned}$
となり、 $| G |$ は $n$ の倍数であることが分かる。

(b)
任意の $i, k \in X$ に対して、 $g \cdot i = k$ となる $g \in G$ が存在することから、(a) の結果が使えて、 $| G |$ は $n$ の倍数となることが分かる。

さらに、 $i, k \in X$ を固定したときに、 $j, l \in X, i \neq i, k \neq l$ なる $j, l$ を考えると、 $g \cdot j = l$ となる $g \in G$ が存在することから $X$ の元から $i$ または $k$ を除いた集合に対する作用となり、(a) の議論から
$\begin{aligned} G_{j} & = G_{l} \\ | G | & = (| X | - 1) | G_{j} | \\ | G | & = (| X | - 1) | G_{l} | \end{aligned}$
が成り立つ。