代数学

指数２の部分群

 

G を群とし、H は G の指数2の部分群とする。
すなわち、[G:H]=|G/H|=2 である部分群である。

(a) a∈G を H に含まれない元とする。
このとき、G=H∐aH を示せ。

(b) 先の問題の結果により、G の H に関する右剰余類の個数も2であることが分かる。
このことに注意して、a∈G が H に含まれない元のとき、G=H∐Ha を示せ。

(c) H は G の正規部分群であることを示せ。

(a)
a∈G が H に含まれない元であるため、H≠qH である。
従って、G⊃H∐aH である。
ここで、H は G の指数2の部分群であるので、G=H∐aH が言える。

(b)
(a) と全く同様の議論で、左剰余類の個数も右剰余類の個数も同じなので、
G=H∐Ha が言える。

(c)
もしも、a∈H ならば、明らかに aH=Ha が成り立つ。
また、a∉H ならば、(a), (b) より aH=Ha が言えるので、H は G の正規部分群である。

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