$G$ を群とし、$H$ は $G$ の指数2の部分群とする。
すなわち、$[G:H] = |G/H| = 2$ である部分群である。
(a) $a \in G$ を $H$ に含まれない元とする。
このとき、$G = H \coprod a H$ を示せ。
(b) 先の問題の結果により、$G$ の $H$ に関する右剰余類の個数も2であることが分かる。
このことに注意して、$a \in G$ が $H$ に含まれない元のとき、$G = H \coprod Ha$ を示せ。
(c) $H$ は $G$ の正規部分群であることを示せ。
(a)
$a \in G$ が $H$ に含まれない元であるため、$H \neq q H$ である。
従って、$G \supset H \coprod a H$ である。
ここで、$H$ は $G$ の指数2の部分群であるので、$G = H \coprod a H$ が言える。
(b)
(a) と全く同様の議論で、左剰余類の個数も右剰余類の個数も同じなので、
$G = H \coprod H a$ が言える。
(c)
もしも、$a \in H$ ならば、明らかに $a H = H a$ が成り立つ。
また、$a \notin H$ ならば、(a), (b) より $a H = H a$ が言えるので、$H$ は $G$ の正規部分群である。
