$G$ を群とし、$H$ を $G$ の部分群とする。
$G/H$ を $G$ の $H$ に関する左剰余類全体のなす集合とし、
$H\backslash G$ を $G$ の $H$ に関する右剰余類全体のなす集合とする。
(a) 左剰余類 $a H\ (a \in G)$ に、右剰余類 $H a^{-1}$ を対応させる写像 $\phi: G/H \rightarrow H\backslash G$ が矛盾なく定義出来ることを示せ。
(b) (a) で定義した写像 $\phi: G/H \rightarrow H\backslash G$ は全単射であることを示せ。
従って、$|G/H| = |H\backslash G|$ が成り立つ。
(a)
題意を示すために必要なことは、$a, b \in G$ とするとき、$a H = b H$ ならば $H a^{-1} = H b^{-1}$ であることを示せば、問題文の写像 $\phi$ は well-defined であると言える。
$a, b \in G$ であるとき、$a H = b H$ であるとする。
このとき、$h_1, h_2 \in H$ が存在して
\begin{align}
a h_1 &= b h_2
\end{align}
これより
\begin{align}
a &= b h_2 h_1^{-1} \\
a^{-1} &= h_1 h_2^{-1} b^{-1}
\end{align}
が成り立つ。
従って
\begin{align}
H a^{-1} &= H (h_1 h_2^{-1} b^{-1}) \\
H a^{-1} &= H b^{-1}
\end{align}
が言える。ここで、$H$ は $G$ の部分群であるので $H h_1 h_2^{-1} = H$ を用いた。
よって、写像 $\phi$ は well-defined である。
(b)
先ず、写像 $\phi$ が全射であることを示す。
任意の $a \in G$ に対して、$a^{-1} \in G$ は $\phi$ により $H (a^{-1})^{-1} = H a$ に移される。
従って、写像 $\phi$ は全射である。
次に単射であることを示す。
\begin{align}
H a^{-1} &= H b^{-1}
\end{align}
であるとすると、$h_1, h_2 \in H$ が存在して
\begin{align}
h_1 a^{-1} &= h_2 b^{-1}
\end{align}
が成り立つ。
これより
\begin{align}
a h_1^{-1} &= b h_2^{-1}
\end{align}
が成り立つので、$a H = b H$ が言える。
従って、写像 $\phi$ は単射である。
すなわち、写像 $\phi$ は全単射であることが結論付けられる。
特に、$|G/H| = |H\backslash G|$ が言える。
