単位元を持つ可換環の性質

分配則から
$$\begin{array}{rl}(1+(-1))\cdot (-1)& =1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)\end{array}$$
が成り立つ。一方で、左辺は $(-1)$ が 1 の逆元であることから
$$\begin{array}{rl}(1+(-1))\cdot (-1)& =0\cdot (-1)\\ & =0\end{array}$$
が得られる。
すなわち
$$\begin{array}{rl}0& =1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)\end{array}$$
が成り立つ。

ここで、加法に対する結合則から
$$\begin{array}{rl}((-1)\cdot (-1)+(-1))+1& =(-1)\cdot (-1)+((-1)+1)\\ & =(-1)\cdot (-1)+0\\ & =(-1)\cdot (-1)\end{array}$$
が成り立ち、一方で左辺は先に示した式より
$$\begin{array}{rl}((-1)\cdot (-1)+(-1))+1& =0+1\\ & =1\end{array}$$
が示されるので、
$$\begin{array}{rl}(-1)\cdot (-1)& =1\end{array}$$
が示される。