ピンポン補題｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

以下で表される行列 $A, B \in G L_{2} (R)$ で生成される $G L_{2} (R)$ の部分群を $G$ とする。
$\begin{aligned} A = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}), B & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}) \in G L_{2} (R) . \end{aligned}$
さらに、任意の正の整数 $k \geq 1$ と 0 でない整数 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k} \in Z ∖ {0}$ に対して
$\begin{aligned} X & = A^{n_{1}} B^{n_{2}} A^{n_{3}} \dots B^{n_{k - 1}} A^{n_{k}} (n が奇数のとき), \\ X & = A^{n_{1}} B^{n_{2}} A^{n_{3}} \dots A^{n_{k - 1}} B^{n_{k}} (n が偶数のとき), \end{aligned}$
とおく。
この問題の目的は $X \neq E_{2}$ を示すことである。

$R^{2}$ の部分集合 $U, V$ を
$\begin{aligned} U & = {^{t} (x, y) \in R^{2} | | x | > | y |}, \\ V & = {^{t} (x, y) \in R^{2} | | x | < | y |}, \end{aligned}$
で定める。
$P \in G$ に対して、 $f_{P} : R^{2} \to R^{2}$ は、 $v \in R^{2}$ に $P v \in R^{2}$ を対応させる写像とする。

(a) 0 でない任意の整数 $n$ に対して、 $f_{A^{n}} (V) \subset U$ であることを示せ。
また、0 でない任意の整数 $n$ に対して、 $f_{B^{n}} (U) \subset V$ であることを示せ。

(b) $k$ を奇数とする。
$f_{X} (V) \subset U$ を示すことで、 $X \neq E_{2}$ を示せ。

(c) $k$ を偶数とする。 $m \neq 0$ を $- n_{1}$ とも $n_{k}$ とも異なる整数とする。
このとき、(b) を用いることで、 $A^{m} X A^{- m} \neq E_{2}$ を示せ。
さらに、これより　 $X \neq E_{2}$ を示せ。

(a)
先ず、 $n$ を 0 でない整数とするとき、 $A^{n}$ が数学的帰納法により
$\begin{aligned} A^{n} & = (\begin{array}{c} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}$
と表されることに注意する。

ここで、 $V$ の任意の元 $v =^{t} (x, y) \in V, (| x | < | y |)$ を考え $f_{A^{n}} (v) = A^{n} v$ を計算すると
$\begin{aligned} f_{A^{n}} (v) & = A^{n} v \\ = (\begin{array}{c} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} x + 2 n y \\ y \end{array}) \end{aligned}$
となる。

ここで、
$\begin{aligned} | x + 2 n y | & \geq | 2 n y | - | x | \\ \geq 2 | y | - | x | \\ = (| y | - | x |) + | y | \\ > | y | \end{aligned}$
より、 $f_{A^{n}} (v) \in U$ が言える。従って、 $f_{A^{n}} (V) \subset U$ が成り立つ。

また、同様に
$\begin{aligned} B^{n} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 n & 1 \end{array}) \end{aligned}$
に注意すれば、 $U$ の任意の元 $u =^{t} (x, y) \in U, (| x | > | y |)$ に対して
$\begin{aligned} f_{B^{n}} (u) & = B^{n} u \\ = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 n & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} x \\ 2 n x + y \end{array}) \end{aligned}$
が成り立つ。

ここで
$\begin{aligned} | 2 n x + y | & \geq | 2 n x | - | y | \\ \geq 2 | x | - | y | \\ = (| x | - | y |) + | x | \\ > | x | \end{aligned}$
より、 $f_{B^{n}} (u) \in V$ が言えるので、 $f_{B^{n}} (U) \subset V$ が成り立つ。

(b)
$k$ を奇数とするとき、 $V$ の任意の元 $v =^{t} (x, y) \in V, (| x | < | y |)$ をとり、 $f_{X} (v)$ を考えると
$\begin{aligned} f_{X} (v) & = A^{n_{1}} B^{n_{2}} \dots B^{n_{k - 1}} A_{n_{k}} v \end{aligned}$
となるが、(a) の結果より、 $A_{n_{k}} v \in U$ が言えて、さらに、 $B^{n_{k - 1}} A_{n_{k}} v \in V$ が言える。
これを繰り返せば、 $f_{X} (v) \in U$ が導かれるので、 $f_{X} (V) \subset U$ が示される。

今、もしも $X = E_{2}$ であれば、 $f_{E_{2}} (v) = v$ となるので、 $f_{X} (V) \subset U$ に矛盾する。
従って、 $X \neq E_{2}$ が示される。

(c)
$k$ を奇数として、 $m \neq 0$ を $- n_{1}$ とも $n_{k}$ とも異なる整数とする。
このとき
$\begin{aligned} A^{m} X A^{- m} & = A^{m} A^{n_{1}} B^{n_{2}} A^{n_{3}} \dots A^{n_{k - 1}} B^{n_{k}} A^{- m} \end{aligned}$
となり、 $m \neq - n_{1}$ であるので
$\begin{aligned} A^{m} A^{n_{1}} & = A^{m + n_{1}} \neq E_{2} \end{aligned}$
となり、(b) において考えた $X$ に帰着する。
従って (b) の主張より、 $A^{m} X A^{- m} \neq E_{2}$ が言える。