ハミルトンの４元数体

$x_1,x_2,y_1,y_2\in \mathbb{C}$ とするとき
$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}{x}_1& –\overline{y_1}\\ y_1& \overline{x_1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{x}_2& –\overline{y_2}\\ y_2& \overline{x_2}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& –\overline{y_1+y_2}\\ y_1+y_2& \overline{x_1+x_2}\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}{x}_1& –\overline{y_1}\\ y_1& \overline{x_1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_2& –\overline{y_2}\\ y_2& \overline{x_2}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2–\overline{y_1}{y}_2& –\left(\overline{y_1{x}_2+\stackrel{―}{x_1}{y}_2}\right)\\ y_1{x}_2+\overline{x_1}{y}_2& \overline{x_1{x}_2–\stackrel{―}{y_1}{y}_2}\end{array}\right)\end{array}$$
が成り立つので、与えられた集合は通常の行列の和法と乗法に関して閉じており、明らかに結合則も満たす。

さらに、
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}x& –\bar{y}\\ y& \bar{x}\end{array}\right)\end{array}$$
に関する和法に対する逆元
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}–x& –\left(\overline{-y}\right)\\ –y& \overline{-x}\end{array}\right)\end{array}$$
も、与えられた集合内に存在し、乗法に関する単位元
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$
も、与えられた集合内に存在する。

さらに、加法に関する零元
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
も、与えられた集合内に存在する。

また、明らかに和法に関して交換則が成り立つことが分かる。

しかしながら、一般に乗法に関しては交換則は成り立たないので、与えられた集合は、斜体であると言える。