シローの定理

$p$ を素数とする。$G$ を有限群とし、$|G|=p^{a}m(a\ge 0\text{で }m\text{ は }p\text{ と互いに素})$ と表す。

(a) $G$ の任意の $p$ 部分群に対して、それを含むシロー $p$ 部分群が存在する。
とくに、$\{1\}$ は $p$ 部分群なので、シロー $p$ 部分群は常に存在する。

(b) シロー $p$ 部分群の個数を $n_p$ とする。
このとき、$n_p$ は $|G|$ の約数であり、$n_p\equiv 1(\text{mod}p)$ が成り立つ。

(c) シロー $p$ 部分群は互いに共役である。
すなわち、$P_1,P_2$ をシロー $p$ 部分群とすると、$P_2=g{P}_1{g}^{-1}$ となる $g\in G$ が存在する。

以上の主張を「シローの定理」という。
これを証明せよ。