コーシー-フロベニウスの補題の応用(2)

先ず、群 $G$ として、$n\times n$ マスの正方形の盤を $\pi /2$ だけ反時計回りに回転させる変換を $r$ として
$$\begin{array}{rl}G& =\{e,r,r^2,r^3\}\end{array}$$
を考える。ここに、$e$ は0だけ回転させる演算、すなわち単位元を表す。
この集合 $G$ は明らかに群をなす。

次に集合 $X$ を次のように定義する。白石を置く場合を0、黒石を置く場合を1として、$n\times n$ マスの各マスに0もしくは1を配置させる。
この配置に対して、
$$\begin{array}{rl}X& =\{(a_1,a_2,\cdots ,a_{n\times n})|a_i=0,1\}\end{array}$$
と定義する。

このとき、$G$ の $X$ への作用を $g\in G,x=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n\times n})\in X$ とするとき
$$\begin{array}{rl}g\circ x& =(a_{g(1)},a_{g(2)},\cdots ,a_{g(n\times n)})\end{array}$$
とする、この時、$g(i)$ は、正方形の盤を $r$ により作用させたときに、$x$ の $i$ 番目の成分が写る番号を表す。

$g\circ x$ と $x$ は同じ配置と数えることにすると、求める場合の数 $N$ は、$G$ 軌道の個数に等しい。
そこで、コーシー-フロベニウスの補題を使って、$N$ を求める。

$X$ の任意の元 $x\in X$ に対して、$e\circ x=x$ であるので、$|\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(e)|=|X|=2^{n^2}$ である。

以下、$n$ が偶数と奇数の場合に別けて考える。
先ず、$n$ を奇数とする。

このとき、$r\circ x=x$ となるような配置は、$n^2–1$ が４の倍数であることに注意して
$$\begin{array}{rl}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r)& =2\times 2^{\frac{n^2–1}{4}}\\ & =2^{\frac{n^2+3}{4}}\end{array}$$
が得られる。
同様に考えれば
$$\begin{array}{rl}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^3)& =\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r)\end{array}$$
も得られる。

更に、$r^2\circ x=x$ となるような配置は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^2)& =2\times 2^{\frac{n^2–1}{2}}\\ & =2^{\frac{n^2+1}{2}}\end{array}$$
と求まる。
従って、$n$ が奇数のときには
$$\begin{array}{rl}N& =\frac{1}{4}(2^{n^2}+2\times 2^{\frac{n^2+3}{4}}+2^{\frac{n^2+1}{2}})\\ & =2^{n^2–2}+2^{\frac{n^2+3}{4}–2}+2^{\frac{n^2+1}{2}–2}\end{array}$$
と求まる。

$n$ が偶数の場合には
$$\begin{array}{rl}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(e)& =2^{n^2}\\ \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r)& =\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^3)=2^{\frac{n^2}{4}}\\ \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^2)& =2^{\frac{n^2}{2}}\end{array}$$
より、
$$\begin{array}{rl}N& =2^{n^2–2}+2^{\frac{n^2}{4}–1}+2^{\frac{n^2}{2}–2}\end{array}$$
と求まる。