コーシー-フロベニウスの補題の応用

正六角形の各頂点に宝石を配置すると考える。
このときに、作用させる群として２面体群 $D_{12}$ を考える。
便宜上、正六角形の各頂点を反時計回りに $A_1,A_2,\cdots ,A_5$ とし、中心を $O$ とする。
２面体群 $D_{12}$ は
$$\begin{array}{rl}{D}_{12}& =\{e,r,r^2,\cdots ,r^5,s_1,s_2,\cdots ,s_6\}\end{array}$$
と表すことが出来る。
ここに、$r$ は正六角形の中心の反時計回りの$2\pi /6$ 回転である。
また、直線 $O{A}_1$ に関する反転を $s_1$、
$A_1$ と $A_2$ の中点と $O$ を結ぶ直線に対する反転を $s_2$、
直線 $O{A}_2$ に関する反転を $s_3$、
$A_2$ と $A_3$ の中点と $O$ を結ぶ直線に対する反転を $s_4$、
直線 $O{A}_3$ に関する反転を $s_5$、
$A_3$ と $A_4$ の中点と $O$ を結ぶ直線に対する反転を $s_6$ とする。

３種類の宝石を $1,2,3$ と名付けて、集合 $X$ を各々２つずつの $1,2,3$ の配置の全体とする。
$$\begin{array}{rl}X& \equiv \{(c_1,c_2,\cdots ,c_6)\}\end{array}$$
ここで、$c_1,\cdots ,c_6$ は各々２つずつの 1, 2, 3 の並べ替えの全体を表す。

$g$ を $D_{12}$ の元、$x$ を $X$ の元とする。
このとき、コーシー-フロベニウスの補題を使って、$D_{12}$ が $X$ に作用したときの、$G$ 軌道の個数が求める場合の数となる。

先ず、任意の $x\in X$ に対して、$e\circ x=x$ であるので、$|\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(e)|=3\times 5\times {}_4{C}_2=90$ となる。
同様に、$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r)=0,\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^2)=0,\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^3)=6,\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^4)=0,\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(r^5)=0$ が得られる。
さらに、$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_1)=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_2)=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_3)=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_4)=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_5)=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(s_6)=6$ が得られるので、コーシー-フロベニウスの補題より、求める場合の数 $N$ は
$$\begin{array}{rl}N& =\frac{1}{12}(90+6+6\times 6)\\ & =11\end{array}$$
となり、11通りと求まる。