クラインの４元群

先ず単位元は $(1)$ であり、$(1)\in V$ より、$V$ の中に存在する。
また、$V$ の各元の逆元は、その元自身であるために、やはり、全ての元の逆元も $V$ の中に存在する。

以下、簡単のために $V$ の各元に名前をつけておく。
$$\begin{array}{rl}(1)& =e\\ (12)\circ (34)& =c_1\\ (13)\circ (24)& =c_2\\ (14)\circ (23)& =c_3\end{array}$$
とする。
このとき、単純な計算により
$$\begin{array}{rl}{c}_1\circ c_2& =c_3\\ c_1\circ c_3& =c_2\\ c_2\circ c_1& =c_3\\ c_2\circ c_3& =c_1\\ c_3\circ c_1& =c_2\\ c_3\circ c_2& =c_1\end{array}$$
が確かめられるので、$V$ の任意の2つの元を演算させても、やはり $V$ の中にあることが分かる。

これより、$V$ は群となっていることが示された。