カンドルの例

(i)
任意の $x\in G$ に対して、$G$ は群であるので、$x$ の逆元 $x^{-1}$ が存在する。従って、$x▹x$ が定義出来て
$$\begin{array}{rl}x▹x& =x^{-1}\circ x\circ x\\ & =x\end{array}$$
を満たす。ここで、$G$ は群であるので、結合則を使った。

(ii)
任意の $y,z\in G$ に対して、$x=y\circ z\circ y^{-1}$ とすれば
$$\begin{array}{rl}x▹y& =y^{-1}\circ (y\circ z\circ y^{-1}{)}^{-1}\circ y\\ & =(y^{-1}\circ y)\circ z\circ (y^{-1}\circ y)\\ & =z\end{array}$$
となる。

また、$x,x^{\prime }\in G$ に対して、$x▹y=x^{\prime }▹y$ とすれば
$$\begin{array}{rl}x▹y& =x^{\prime }▹y\\ y^{-1}\circ x\circ y& =y^{-1}\circ x^{\prime }\circ y\\ x& =x^{\prime }\end{array}$$
が成り立つので、題意を満たす $x\in G$ は唯一つであることが分かる。

(iii)
任意の $x,y,z\in G$ に対して
$$\begin{array}{rl}(x▹y)▹z& =z^{-1}\circ (x▹y)\circ z\\ & =z^{-1}\circ y^{-1}\circ x\circ y\circ z\end{array}$$
となる。一方で
$$\begin{array}{rl}(x▹z)▹(y▹z)& =(z^{-1}\circ x\circ z)▹(z^{-1}\circ y\circ z)\\ & =(z^{-1}\circ y\circ z{)}^{-1}\circ (z^{-1}\circ x\circ z)\circ (z^{-1}\circ y\circ z)\\ & =z^{-1}\circ y^{-1}\circ z\circ z^{-1}\circ x\circ z\circ z^{-1}\circ y\circ z\\ & =z^{-1}\circ y^{-1}\circ x\circ y\circ z\end{array}$$
となり、題意が示される。