イデアルの性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$A$ を単位元をもつ可換環、 $I, J_{1}, J_{2}$ を $A$ のイデアルとする。
このとき、
$\begin{array}{r} I \subset J_{1} \cup J_{2} \end{array}$
ならば
$\begin{array}{r} I \subset J_{1} または I \subset J_{2} \end{array}$
が成り立つことを示せ。

$I \subset J_{1} \cup J_{2}$ とするとき、イデアル $I$ から任意の元 $a \in I$ をとる。( $I$ はイデアルなので空集合ではないので、いつでもある元を取ることが出来る。)

このとき、 $I \subset J_{1} \cup J_{2}$ なので、 $a \in J_{1}$ または $a \in J_{2}$ が成り立つ。
ここで必要があれば、 $J$ の下付きの添字の 1, 2 を入れ替えることにより、 $a \in J_{1}$ と仮定しても一般性は失わない。

このとき、 $I \subset J_{1}$ を示す。
もし、 ${a}$ で $I$ が尽くされていれば、 $I \subset J_{1}$ は成立する。
そこで、 $a$ 以外の元が $I$ に存在する場合、その元を $b \in I$ とする。
このとき、 $x = b \cdot a^{- 1} \in A$ を考えると、 $J_{1}$ がイデアルであるので
$\begin{aligned} x \cdot a & = (b \cdot a^{- 1}) \cdot a \\ = b \in J_{1} \end{aligned}$
が言える。
従って、題意が示された。