群 $G$ の任意の元 $a$ に対して $a^2 = e$ が成り立つとする。
このとき、$G$ はアーベル群であることを示せ。
群 $G$ の任意の2つの元 $a, b \in G$ を考える。
このとき、
\begin{align}
a \circ b &= (e \circ a) \circ b \\
&= ((b \circ b) \circ a) \circ b \\
&= (b \circ (b \circ a)) \circ b \\
&= b \circ ((b \circ a) \circ b) \\
&= b \circ ((b \circ a) \circ (b \circ (a \circ a))) \\
&= b \circ ((b \circ a) \circ ((b \circ a) \circ a)) \\
&= b \circ (((b \circ a) \circ (b \circ a)) \circ a) \\
&= b \circ (e \circ a) \\
&= b \circ a
\end{align}
となり、$G$ はアーベル群となる。ここで $b \circ a \in G$ であるので、$(b \circ a)^2 = e$ を用いた。
