アーベル群の例(1)

$x,y\in G$ のとき、すなわち、$x,y>0,x,y\ne 1$ のとき、$x\circ y=x^{\log y}$ は $x^{\log y}>0$ かつ $x^{\log y}\ne 1$ であるので、$x\circ y\in G$ であることが分かる。

すなわち、$\circ$ は $G$ における演算を定める。

次に、$G$ が演算 $\circ$ を演算として群をなすことを示す。
先の議論より、$x,y\in G$ のとき、$x\circ y\in G$ であることは分かっている。
単位元は $e=\mathrm{e}$ であることが、$x\in G$ に対して $x\circ e=e\circ x=x$ から分かる。
また、$x\in G$ の逆元は $x^{-1}={\mathrm{e}}^{1/\log x}$ であることも確かめられる。
従って、$G$ は演算 $\circ$ に関して群をなすことが分かる。

さらに、$x,y\in G$ のとき $y\circ x$ を考えると
$$\begin{array}{rl}y\circ x& =y^{\log x}\\ & ={\left({\mathrm{e}}^{\log y}\right)}^{\log x}\\ & ={\mathrm{e}}^{\log x\log y}\\ & ={\left({\mathrm{e}}^{\log x}\right)}^{\log y}\\ & =x^{\log y}\\ & =x\circ y\end{array}$$
となるので、$G$ は $\circ$ を演算としてアーベル群をなすことが分かる。