リー群とリー環

$n$ 次対称群 $S_{n}$

admin

$n$ 次対称群の元 $σ \in S_{n}$ を
$\begin{aligned} σ & = (\begin{array}{c} 1 & 2 & \dots & n \\ σ (1) & σ (2) & \dots & σ (n) \end{array}) \end{aligned}$
と書き表す。このとき
$\begin{aligned} (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}) \end{aligned}$
であることを確かめよ。

群の作用は右からであることに注意して
$\begin{array}{r} 1 \to 1 \to 2 \\ 2 \to 3 \to 3 \\ 3 \to 2 \to 1 \end{array}$
と写るので
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}) \end{array}$
が確かめられる。