$n$ 次対称群の元 $\sigma \in S_n$ を
\begin{align}
\sigma &=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\
\end{pmatrix}
\end{align}
と書き表す。このとき
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
であることを確かめよ。
群の作用は右からであることに注意して
\begin{align}
1 \to 1 \to 2 \\
2 \to 3 \to 3 \\
3 \to 2 \to 1
\end{align}
と写るので
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
が確かめられる。
