群の準同型定理｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$G, G^{'}$ を群とし、 $f : G \to G^{'}$ を全射準同型とするとき、群の同型
$\begin{array}{r} G / K e r f ≅ G^{'} \end{array}$
が成り立つことを示せ。

先の問題より、 $K e r f$ が群 $G$ の正規部分群となることから、商群 $G / K e r f$ を考えることが出来る。

そこで、写像 $\bar{f} : G / K e r f \to G^{'}$ を $g (K e r f) \mapsto f (g), g \in G$ と定義する。

このとき、 $\bar{f}$ は準同型写像である。
何故なら、 $g, g^{'} \in G$ に対して、先の問題より $g (K e r f), g^{'} (K e r f)$ と $g (K e r f) g^{'} (K e r f) = g g^{'} (K e r f)$ が成り立つので
$\begin{aligned} \bar{f} (g g^{'} (K e r f)) & = f (g g^{'}) = f (g) f (g^{'}) \\ \bar{f} (g g^{'} (K e r f)) & = \bar{f} (g (K e r f) g^{'} (K e r f)) \end{aligned}$
となるからである。

さらに、問題の条件より、写像　 $f : G \to G^{'}$ は全射であるので、 $\bar{f} : G / K e r f \to G^{'}$ は全射となる。

最後に $f (g) = f (g^{'})$ とするとき $g (K e r f) = g^{'} (K e r f)$ である。
なぜなら
$\begin{aligned} f (g) & = f (g^{'}) \\ {(f (g^{'}))}^{- 1} f (g) & = e_{G}^{'} \\ f ((g^{'})^{- 1}) f (g) & = e_{G}^{'} \\ f ((g^{'})^{- 1} g) & = e_{G}^{'} \end{aligned}$
となり、 $(g^{'})^{- 1} g \in K e r f$ となるので、 $g (K e r f) = g^{'} (K e r f)$ となるからである。
従って、 $\bar{f}$ は単射である。