群 $G$ から群 $G’$ への準同型写像の核
\begin{align}
{\rm Ker}f &= \{g \in G| f(g) = e_{G’}\}
\end{align}
は $G$ の正規部分群であることを示せ。ここに $e_{G’}$ は群 $G’$ における単位元を表す。
$\forall g \in G$ に対して、$\forall k \in {\rm Ker}f$ を考えると、$f: G \to G’$ が準同型写像であることより
\begin{align}
f(g \circ k \circ g^{-1}) &= f(g) \circ f(k) \circ f(g^{-1}) \\
&= f(g) \circ e_{G’} \circ f(g^{-1} \\
&= f(g) f(g^{-1}) \\
&= f(g \circ g^{-1}) \\
&= f(e_G) \in {\rm Ker}f
\end{align}
が成り立つので、$g ({\rm Ker}f) g^{-1} \subset {\rm Ker} f$ が言える。
また、$g^{-1} \in G$ についても全く同様の議論が成り立つので、$g^{-1} ({\rm Ker}f) g \subset {\rm Ker} f$ すなわち、${\rm Ker}f \subset g ({\rm Ker}f)g^{-1}$ が言える。
従って、$g ({\rm Ker} f) g^{-1} = {\rm Ker}f$ が成り立つので、${\rm Ker}f$ は $G$ の正規部分群である。
