Levi-Civitaの完全反対称テンソル

$$\sum _{i=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ilm}$$
の和の中で$0$でない項は$(i,j,k)$が$(1,2,3)$の置換になっていると同時に$(i,l,m)$も$(1,2,3)$の置換になっている時のみであり、それ以外は全て$0$となる。
$(i,j,k)$と$(i,l,m)$で$i$は共通であるので、${ϵ}_{ijk}$と${ϵ}_{ilm}$が両方ともに$0$とならない場合は
(1) $j=l,k=m$
(2) $j=m,k=l$
の2つの場合のみである。

(1) の場合には、$(i,j,k)$と$(i,l,m)$は両方共に偶置換か、両方共に奇置換であるので、どちらにせよ、その積である${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ilm}$は$1$となる。

(2) の場合には、$(i,j,k)$と$(i,l,m)$は片方が偶置換であり、もう片方は奇置換となるので、その積である${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ilm}$は$-1$となる。

従って、
$$\sum _{i=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ilm}={\delta }_{j,l}{\delta }_{k,m}–{\delta }_{j,m}{\delta }_{k,l}$$
が示された。

二つの3次元ベクトル$\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$のベクトル積の$x_1=x$成分は
$$A_{x_2}{B}_{x_3}–A_{x_3}{B}_{x_2}$$
であり、
$${ϵ}_{1jk}{A}_{x_j}{B}_{x_k}=A_{x_2}{B}_{x_3}–A_{x_3}{B}_{x_2}$$
と一致する。$x_2=y,x_3=z$成分についても同様である。

また、この証明で$\overrightarrow{A}$と$\overrightarrow{B}$の成分の順序を変えていないことに注意すれば
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{A}& \to \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\\ \overrightarrow{B}& \to \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})\end{array}$$
と置き換えれば、
$$(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}){)}_{x_i}={ϵ}_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}{A}_{x_k}(\overrightarrow{r})$$
も示される。ここに
$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3})$$
である。