ベクトルポテンシャルの存在証明

題意を満たすベクトル場$\overrightarrow{B}(x,y,z)$は一意的には決まらないが、たとえば、$B_z(x,y,z)=0$となるようなものを$\overrightarrow{A}(x,y,z)$を使って下のようにして構成することが出来る。
$B_x,B_y,B_z$を各々$\overrightarrow{B}$の$x,y,z$成分とし、$(a,b,c)$を領域$V$内の任意の点とすると、
$$\begin{array}{rl}{B}_x(x,y,z)& ={\int }_c^z{A}_y(x,y,t)\mathrm{d}t\\ B_y(x,y,z)& =–{\int }_c^z{A}_x(x,y,t)\mathrm{d}t+{\int }_a^x{A}_z(t,y,c)\mathrm{d}t\\ B_z(x,y,z)& =0\end{array}$$
で定義されるベクトル場$\overrightarrow{B}(x,y,z)$は題意を満たす。
実際に
$$\begin{array}{rl}{\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}\right)}_x& =\frac{\partial B_z}{\partial y}–\frac{\partial B_y}{\partial z}=A_x(x,y,z)\\ {\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}\right)}_y& =\frac{\partial B_x}{\partial z}–\frac{\partial B_z}{\partial x}=A_y(x,y,z)\\ {\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}\right)}_z& =\frac{\partial B_y}{\partial x}–\frac{\partial B_x}{\partial y}\\ & =–{\int }_c^z\frac{\partial A_x(x,y,t)}{\partial x}\mathrm{d}t+A_z(x,y,c)–{\int }_c^z\frac{\partial A_y(x,y,t)}{\partial y}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_c^z\frac{\partial A_z(x,y,t)}{\partial t}\mathrm{d}t+A_z(x,y,c)\\ & =A_z(x,y,z)\end{array}$$
となり、
$$\overrightarrow{A}(x,y,z)=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}(x,y,z)$$
を満たすことが分かる。
ここで、$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{A}(x,y,z)=0$から
$$\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}=0$$
を用いた。