3次元空間における3次元ベクトル場\(\vec{A}(x, y, z)\)が、3次元空間の領域\(V\)において
\[
{\rm rot} \vec{A}(x, y, z) = \vec{0}
\]
が成立しているとき、あるスカラー場\(g(\vec{x})\)が存在して
\[
\vec{A}(x, y, z) = {\rm grad}\ g(x, y, z)
\]
と表すことが出来ることを示せ。
具体的に\(\vec{A}(x, y, z)\)を使って、条件を満たすスカラー場\(g(x, y, z)\)を構成する。3次元空間の領域\(V\)内の任意の点\((a, b, c)\)を用いて、以下のスカラー場\(g(x, y, z)\)を考える。
\[
g(x, y, z) = \int_a^x A_x(t, y, z) {\rm d} t + \int_b^y A_y(a, t, z) {\rm d} t + \int_c^z A_z(a, b, t) {\rm d} t
\]
ここに、\(A_x, A_y, A_z\)は、各々\(\vec{A}(x, y, z)\)の\(x, y, z\)成分である。
この\(g(x, y, z)\)が\(\vec{A}(x, y, z) = {\rm grad}\ g(x, y, z)\)を満たしている。実際に
\[\begin{align}
\frac{\partial g(x, y, z)}{\partial x} &= A_x(x, y, z) \\
\frac{\partial g(x, y, z)}{\partial y} &= \int_a^x \frac{\partial A_x(t, y, z)}{\partial y} {\rm d}t + A_y(a, y, z) \\
&= \int_a^x \frac{\partial A_y(t, y, z)}{\partial t} {\rm d}t + A_y(a, y, z) \\
&= \left[A_y(t, y, z) \right]_{t = a}^{t = x} + A_y(a, y, z) \\
&= A_y(x, y, z) – A_y(a, y, z) + A_y(a, y, z) \\
&= A_y(x, y, z) \\
\frac{\partial g(x, y, z)}{\partial z} &= \int_a^x \frac{\partial A_x(t, y, z)}{\partial z} {\rm d}t + \int_b^y \frac{A_y(a, t, z)}{\partial z} {\rm d}t + A_z(a, b, z) \\
&= \int_a^x \frac{\partial A_z(t, y, z)}{\partial t} {\rm d}t + \int_b^y \frac{\partial A_z(a, t, z)}{\partial t} {\rm d}t + A_z(a, b, z) \\
&=\left[A_z(t, y, z) \right]_{t = a}^{t = x} + \left[A_z(a, t, z)\right]_{t = b}^{t = y} + A_z(a, b, z) \\
&= A_z(x, y, z) – A_z(a, y, z) + A_z(a, y, z) – A_z(a, b, z) + A_z(a, b, z) \\
&= A_z(x, y, z)
\end{align}\]
となり、
\[
{\rm grad}\ g(x, y, z) = \vec{A}(x, y, z)
\]
が成り立つことが分かる。ここで、領域\(V\)内で\({\rm rot} \vec{A}(x, y, z)\)が成り立つことから
\[\begin{align}
\frac{\partial A_x(x, y, z)}{\partial y} &= \frac{\partial A_y(x, y, z)}{\partial x} \\
\frac{\partial A_x(x, y, z)}{\partial z} &= \frac{\partial A_z(x, y, z)}{\partial x} \\
\frac{\partial A_y(x, y, z)}{\partial z} &= \frac{\partial A_z(x, y, z)}{\partial y}
\end{align}\]
を用いた。
