スカラーポテンシャルの存在証明｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

3次元空間における3次元ベクトル場 $\vec{A} (x, y, z)$ が、3次元空間の領域 $V$ において
$r o t \vec{A} (x, y, z) = \vec{0}$
が成立しているとき、あるスカラー場 $g (\vec{x})$ が存在して
$\vec{A} (x, y, z) = g r a d g (x, y, z)$
と表すことが出来ることを示せ。

具体的に $\vec{A} (x, y, z)$ を使って、条件を満たすスカラー場 $g (x, y, z)$ を構成する。3次元空間の領域 $V$ 内の任意の点 $(a, b, c)$ を用いて、以下のスカラー場 $g (x, y, z)$ を考える。

$g (x, y, z) = \int_{a}^{x} A_{x} (t, y, z) d t + \int_{b}^{y} A_{y} (a, t, z) d t + \int_{c}^{z} A_{z} (a, b, t) d t$
ここに、 $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ は、各々 $\vec{A} (x, y, z)$ の $x, y, z$ 成分である。

この $g (x, y, z)$ が $\vec{A} (x, y, z) = g r a d g (x, y, z)$ を満たしている。実際に
$\begin{aligned} \frac{\partial g (x, y, z)}{\partial x} & = A_{x} (x, y, z) \\ \frac{\partial g (x, y, z)}{\partial y} & = \int_{a}^{x} \frac{\partial A_{x} (t, y, z)}{\partial y} d t + A_{y} (a, y, z) \\ = \int_{a}^{x} \frac{\partial A_{y} (t, y, z)}{\partial t} d t + A_{y} (a, y, z) \\ = {[A_{y} (t, y, z)]}_{t = a}^{t = x} + A_{y} (a, y, z) \\ = A_{y} (x, y, z) - A_{y} (a, y, z) + A_{y} (a, y, z) \\ = A_{y} (x, y, z) \\ \frac{\partial g (x, y, z)}{\partial z} & = \int_{a}^{x} \frac{\partial A_{x} (t, y, z)}{\partial z} d t + \int_{b}^{y} \frac{A_{y} (a, t, z)}{\partial z} d t + A_{z} (a, b, z) \\ = \int_{a}^{x} \frac{\partial A_{z} (t, y, z)}{\partial t} d t + \int_{b}^{y} \frac{\partial A_{z} (a, t, z)}{\partial t} d t + A_{z} (a, b, z) \\ = {[A_{z} (t, y, z)]}_{t = a}^{t = x} + {[A_{z} (a, t, z)]}_{t = b}^{t = y} + A_{z} (a, b, z) \\ = A_{z} (x, y, z) - A_{z} (a, y, z) + A_{z} (a, y, z) - A_{z} (a, b, z) + A_{z} (a, b, z) \\ = A_{z} (x, y, z) \end{aligned}$
となり、
$g r a d g (x, y, z) = \vec{A} (x, y, z)$
が成り立つことが分かる。ここで、領域 $V$ 内で $r o t \vec{A} (x, y, z)$ が成り立つことから
$\begin{aligned} \frac{\partial A_{x} (x, y, z)}{\partial y} & = \frac{\partial A_{y} (x, y, z)}{\partial x} \\ \frac{\partial A_{x} (x, y, z)}{\partial z} & = \frac{\partial A_{z} (x, y, z)}{\partial x} \\ \frac{\partial A_{y} (x, y, z)}{\partial z} & = \frac{\partial A_{z} (x, y, z)}{\partial y} \end{aligned}$
を用いた。