補間多項式

(1) 単に答えを求めるなら
$$y – f(x_0) = \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} (x – x_0)$$
となるが、(2), (3) を見越して、より一般的な方法で導くことにする。

今、求めたい $a_0, a_1$ は次の連立方程式の解である。
\begin{align}
a_0 + a_1 x_0 &= f(x_0) \\
a_0 + a_1 x_1 &= f(x_1)
\end{align}
これを行列で書けば
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & x_0 \\
1 & x_1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
f(x_0) \\
f(x_1) \\
\end{pmatrix}
\end{align}
このような連立1次方程式の解を求める表式はクラメルの公式として知られている。
すなわち
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
1 & x_0 \\
1 & x_1 \\
\end{pmatrix},\
A_0 =
\begin{pmatrix}
f(x_0) & x_0 \\
f(x_1) & x_1 \\
\end{pmatrix},\
A_1 =
\begin{pmatrix}
1 & f(x_0) \\
1 & f(x_1) \\
\end{pmatrix}
\end{align}
とするとき
\begin{align}
a_0 = \frac{{\rm det}A_0}{{\rm det}A},\ a_1 = \frac{{\rm det}A_1}{{\rm det}A}
\end{align}
と求められる。実際に $a_0, a_1$ をこの表式から求めると
\begin{align}
{\rm det}A &= x_1 – x_0 \\
a_0 &= x_1 f(x_0) – x_0 f(x_1) \\
a_1 &= f(x_1) – f(x_0)
\end{align}
となり、これは最初に示した一次式と一致する。

(2) (1) の方法を3行３列の場合に適用することにより
\begin{align}
a_0 = \frac{1}{{\rm det}A}
\begin{vmatrix}
f(x_0) & x_0 & x_0^2 \\
f(x_1) & x_1 & x_1^2 \\
f(x_2) & x_2 & x_2^2 \\
\end{vmatrix},\
a_1 = \frac{1}{{\rm det}A}
\begin{vmatrix}
1 & f(x_0) & x_0^2 \\
1 & f(x_1) & x_1^2 \\
1 & f(x_2) & x_2^2 \\
\end{vmatrix},\
a_2 = \frac{1}{{\rm det}A}
\begin{vmatrix}
1 & x_0 & f(x_0) \\
1 & x_1 & f(x_1) \\
1 & x_2 & f(x_2) \\
\end{vmatrix}
\end{align}
と求まる。ここで
\begin{align}
A =
\begin{pmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 \\
1 & x_1 & x_1^2 \\
1 & x_2 & x_2^2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
である。

(3) 全く同様の式が $(n + 1) \times (n + 1)$行列について成り立つが、ここで
\begin{align}
A =
\begin{pmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \\
\end{pmatrix}
\end{align}
が逆行列を持つかどうかが、一意的に $a_0, a_1, \cdots, a_n$ が決まるかを決定する。
ここで、$x_0, x_1, \cdots, x_n$ は全て異なるので、${\rm det}A \neq 0$ であるので、$A$ は逆行列を持つ。
従って、$a_0, a_1, \cdots, a_n$ はただ1つに決まることが分かる。