補間多項式

(1) 単に答えを求めるなら
$$y–f(x_0)=\frac{f(x_1)–f(x_0)}{x_1–x_0}(x–x_0)$$
となるが、(2), (3) を見越して、より一般的な方法で導くことにする。

今、求めたい $a_0,a_1$ は次の連立方程式の解である。
$$\begin{array}{rl}{a}_0+a_1{x}_0& =f(x_0)\\ a_0+a_1{x}_1& =f(x_1)\end{array}$$
これを行列で書けば
$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}1& x_0\\ 1& x_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}f(x_0)\\ f(x_1)\end{array}\right)\end{array}$$
このような連立1次方程式の解を求める表式はクラメルの公式として知られている。
すなわち
$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}1& x_0\\ 1& x_1\end{array}\right),A_0=\left(\begin{array}{cc}f(x_0)& x_0\\ f(x_1)& x_1\end{array}\right),A_1=\left(\begin{array}{cc}1& f(x_0)\\ 1& f(x_1)\end{array}\right)\end{array}$$
とするとき
$$\begin{array}{r}{a}_0=\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_0}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A},a_1=\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}\end{array}$$
と求められる。実際に $a_0,a_1$ をこの表式から求めると
$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A& =x_1–x_0\\ a_0& =x_{1}f(x_0)–x_{0}f(x_1)\\ a_1& =f(x_1)–f(x_0)\end{array}$$
となり、これは最初に示した一次式と一致する。

(2) (1) の方法を3行３列の場合に適用することにより
$$\begin{array}{r}{a}_0=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}\left|\begin{array}{ccc}f(x_0)& x_0& x_0^2\\ f(x_1)& x_1& x_1^2\\ f(x_2)& x_2& x_2^2\end{array}\right|,a_1=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}\left|\begin{array}{ccc}1& f(x_0)& x_0^2\\ 1& f(x_1)& x_1^2\\ 1& f(x_2)& x_2^2\end{array}\right|,a_2=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}\left|\begin{array}{ccc}1& x_0& f(x_0)\\ 1& x_1& f(x_1)\\ 1& x_2& f(x_2)\end{array}\right|\end{array}$$
と求まる。ここで
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{ccc}1& x_0& x_0^2\\ 1& x_1& x_1^2\\ 1& x_2& x_2^2\end{array}\right)\end{array}$$
である。

(3) 全く同様の式が $(n+1)\times (n+1)$行列について成り立つが、ここで
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{ccccc}1& x_0& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right)\end{array}$$
が逆行列を持つかどうかが、一意的に $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ が決まるかを決定する。
ここで、$x_0,x_1,\cdots ,x_n$ は全て異なるので、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A\ne 0$ であるので、$A$ は逆行列を持つ。
従って、$a_0,a_1,\cdots ,a_n$ はただ1つに決まることが分かる。