$m, n$ を互いに素な正の整数とする。
群 $G$ の元 $x, y$ は、$x \circ y = y \circ x$ を満たし、$x$ の位数は $m$ であり、$y$ の位数は $n$ であるとする。
このとき、$x \circ y$ の位数は $m n$ であることを示せ。
$x \circ y$ の位数を $L$ とする。すなわち
\begin{align}
(x \circ y)^L &= e
\end{align}
とする。
このとき、$y^{m L}$ を計算すると
\begin{align}
y^{m L} &= x^{m L} \circ y^{mL} \\
&= (x \circ y)^{m L} \\
&= e^m \\
&= e
\end{align}
がなりたつ。ここで $x^{m L} = (x^m)^L = e$ を用いた。
従って、$m L$ は $n$ の倍数であるが、$m, n$ は互いに素であるので $L$ は $n$ の倍数であることが言える。
また、$x^{n L}$ を計算すると
\begin{align}
x^{n L} &= x^{n L} \circ y^{n L} \\
&= (x \circ y)^{n L} \\
&= e
\end{align}
となり、$n L$ は $m$ の倍数であるが、$m, n$ は互いに素であるので、$L$ は $m$ の倍数であることが言える。
従って、$L$ は $mn$ の倍数であることが分かる。
一方で、$(x \circ y)^{m n} = x^{m n} \circ y^{m n} = e$ であることから、$L = m n$ であることが分かる。
