群における指数法則

$n, m \in \mathbb{Z}$ について場合分けをして示す。

最初に第1式を示す。

先ず、$n = m = 0$ の時には、累乗の定義から $x^0 = e$ であるので、明らかに上記の第1式は成立する。

次に、$n > 0, m > 0$ の場合を考える。
$x^{n + m}$ は、$x \circ x \circ \cdots \circ x$ と $x$ を $n + m$ 個演算させたものである。
一方で、$x^n \circ x^m$ は、$(x \circ \cdots \circ x) \circ (x \circ \cdots \circ x)$ となり、$x$ を $n$ 個と $m$ 個演算させたものであるので、第1式が成り立つことが分かる。

次に、$n < 0, m > 0$ の場合を考える。
もし、$n + m \ge 0$ の場合には、先に示した事実より
\begin{align}
x^{-n} \circ x^{n + m} &= x^{m}
\end{align}
が成り立つので、この式の左から $x^{n}$ をかけることにより、第1式を得る。

さらに、$n + m < 0$ の場合には、先に示した事実より
\begin{align}
x^{m} \circ x^{- (n + m)} &= x^{-n}
\end{align}
が成り立つので、両辺に左から $x^n$、右から $x^{n + m}$ をかけることにより、第1式を得る。

$n > 0, m < 0$ の場合には、$m$ と $n$ を入れ替えた議論から、やはり第1式が成り立つことが分かる。

$n < 0, m < 0$ の場合には、先に示した事実より
\begin{align}
x^{- (m + n)} &= x^{-m} \circ x^{-n}
\end{align}
が成り立ち、右より $x^{n + m}$、左より、$x^{n} \circ x^{m}$ をかけることにより第1式を得る。

これにより、$n, m \in \mathbb{Z}$ のすべての場合について、第1式が成立することが示された。

次に、第2式を示す。

$n = m = 0$ の場合には、$x^{0} = e$ より、明らかに第2式は成り立つ。

$n > 0, m > 0$ の場合には、$(x^{n})^m = (x \circ \cdots \circ x) \circ \cdots \circ (x \circ \cdots \circ x)$ となり、$x$ を $n m$ 個かけ合わせたものとなり、これは $x^{n m}$ に等しい。
従って、第2式が成り立つ。

次に $n < 0, m > 0$ の場合には、$x^n = (x^{-1})^{-n}, x^{n m} = (x^{-1})^{- n m}$ に注意すれば、先に示した事実より
\begin{align}
(x^n)^m &= ((x^{-1})^{-n})^m \\
&= (x^{-1})^{- n m} \\
&= x^{n m}
\end{align}
となり、第2式が成り立つ。

次に、$n > 0, m < 0$ の場合には、$x^m = (x^{-1})^{-m}, x^{n m} = (x^{-1})^{- n m}$ に注意すれば、先に示した事実より
\begin{align}
(x^{n})^m &= ((x^{n})^{-1})^{- m} \\
&= ((x^{-1})^n)^{- m} \\
&= (x^{-1})^{- n m} \\
&= x^{n m}
\end{align}
となり、第2式が成り立つ。

さらに、$n < 0, m > 0$ の場合には、$x^n = (x^{-1})^{- n}, x^{n m} = (x^{-1})^{- n m}$ に注意すれば、先に示した事実より
\begin{align}
(x^{n})^m &=((x^{-1})^{-n})^m \\
&= (x^{-1})^{- n m} \\
&= x^{n m}
\end{align}
が成り立つ。

最後に、$n < 0, m < 0$ の場合には、$x^{m} = (x^{-1})^{-m}$ に注意すれば、先に示した事実より
\begin{align}
(x^{n})^m &= ((x^n)^{-1})^{- m} \\
&= (x^{-n})^{-m} \\
&= x^{n m}
\end{align}
が成り立つ。

従って、第2式も全ての $n, m \in \mathbb{Z}$ に対して成り立つことが分かる。