正規部分群の必然性

群 $G$ の任意の元 $g \in G$ を考える。また、$G$ の単位元を $e$ とする。
このとき、
\begin{align}
A &= e H \\
B &= g H
\end{align}
とする。
ここで、$e \circ g = g$ であるので、$g \in A B$ であるが、問題の仮定より $A B$ がまた $H$ の左剰余類となっているので
\begin{align}
A B &= g H
\end{align}
が成り立つ。これより
\begin{align}
e H g H &= g H \\
H g H &= g H
\end{align}
ここで、$H$ は部分群であるので、単位元 $e$ を含む。したがって
\begin{align}
H g &\subset g H
\end{align}
が言える。
また、$g$ は群 $G$ の任意の元であったので、上記の式で $g$ をその逆元 $g^{-1}$ とした式も成り立つ。
すなわち
\begin{align}
H g^{-1} &\subset g^{-1} H \\
g H &\subset H g
\end{align}
が成り立つ。

これより、
\begin{align}
H g &= g H
\end{align}
が成り立つので、$H$ は $G$ の正規部分群であると言える。