$\mu_n = \{x \in \mathbb{C} | z^n = 1\}$ は、通常の複素数の積を演算として群をなす。
このとき、$\mu_n$ は巡回群であることを示せ。
また、$\zeta = {\rm exp}(2 \pi i/n)$ とおく。
このとき、$\mu_n = \langle \zeta^m \rangle$ となるための $m$ の必要十分条件は、$m$ と $n$ が互いに素であることを示せ。
$\mu_n$ の元は $m \in \mathbb{Z}$ とするときに、$\eta_m = {\rm exp}(2 \pi i m/n)$ と表すことが出来る。
このとき、$0 \le m \le n – 1$ に対して、全ての $\eta_m$ は異なっており、$\eta_n = 1$ となる。
従って、$\mu_n$ は、位数 $n$ の巡回群であり、$\langle \eta_1 \rangle$ となる。
今、$\mu_n = \langle \eta_1 \rangle$ が示されたので、$\langle \eta_1 \rangle = \langle \zeta \rangle$ となる必要十分条件を求めれば良い。
先ず、$\zeta^m = \eta_1^m$ であるので、$\langle \eta_1 \rangle \supset \langle \zeta_m \rangle$ であることに注意しよう。
このとき、$m$ と $n$ が互いに素であるとき、任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して、$\eta_1^n = (\zeta^{m})^k$ となる $k \in \mathbb{Z}$ が存在する。
なんとなれば、$k = n$ と取れば、$m k = m n \equiv n\ (\mbox{mod $m$})$ となり、$\langle \eta_1\rangle \subset \langle \zeta_m\rangle$ が言える。ここで、$m$ と $n$ が互いに素であるという条件を用いた。
従って、$\langle \eta_1\rangle = \langle \zeta_m\rangle$ が言える。
逆に、$\langle \eta_1\rangle = \langle \zeta_m\rangle$ とすると、任意の $k \in \mathbb{Z}$ に対して、$k \equiv m l\ (\mbox{mod $n$})$ なる $l \in \mathbb{Z}$ が存在する。
なぜなら、このような $l \in \mathbb{Z}$ が存在しないとすると、$\eta_1^k \in \langle \eta_1 \rangle$ に対して、$\eta_k \notin \langle \zeta_m \rangle$ となり、 仮定に矛盾するからである。
従って、題意が示された。
