$S = \{0, 1\}$ とする。$S$ の演算 $\lor$ と $\land$ を次のように定める。
\begin{align}
1 \lor 1 &= 1 \\
1 \lor 0 &= 1 \\
0 \lor 1 &= 1 \\
0 \lor 0 &= 0 \\
1 \land 1 &= 1 \\
1 \land 0 &= 0 \\
0 \land 1 &= 0 \\
0 \land 0 &= 0
\end{align}
このとき、$\lor$ を論理和といい、$\land$ を論理積という。
(a) 論理和 $\lor$ は結合則と交換則を満たし、0 は論理和 $\lor$ に関する単位元であることを示せ。
(b) 論理積 $\land$ は結合則と交換則を満たし、1 は論理積 $\land$ に関する単位元であることを示せ。
(a)
$x, y, z \in S$ とした時に
\begin{align}
(x \lor y) \lor z &= x \lor (y \lor z) \\
x \lor y &= y \lor x
\end{align}
を示せば良い。
第2式の交換則は明らかに成り立つことが分かる。
また、演算 $\lor$ の単位元が0であること、すなわち、任意の $x \in S$ に対して
\begin{align}
x \lor 0 &= 0 \lor x = x
\end{align}
も確かに成り立っている。
第1式について、８種類の全ての場合について計算してみる。
\begin{align}
(1 \lor 1) \lor 1 &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
1 \lor (1 \lor 1) &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
(1 \lor 1) \lor 0 &= 1 \lor 0 \\
&= 1 \\
1 \lor (1 \lor 0) &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
(1 \lor 0) \lor 1 &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
1 \lor (0 \lor 1) &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
(1 \lor 0) \lor 0 &= 1 \lor 0 \\
&= 1 \\
1 \lor (0 \lor 0) &= 1 \lor 0 \\
&= 1 \\
(0 \lor 1) \lor 1 &= 1 \lor 1 \\
&= 1 \\
0 \lor (1 \lor 1) &= 0 \lor 1 \\
&= 1 \\
(0 \lor 1) \lor 0 &= 1 \lor 0 \\
&= 1 \\
0 \lor (1 \lor 0) &= 0 \lor 1 \\
&= 1 \\
(0 \lor 0) \lor 1 &= 0 \lor 1 \\
&= 1 \\
0 \lor (0 \lor 1) &= 0 \lor 1 \\
&= 1 \\
(0 \lor 0) \lor 0 &= 0 \lor 0 \\
&= 0 \\
0 \lor (0 \lor 0) &= 0 \lor 0 \\
&= 0
\end{align}
となり、確かに結合則を満たしていることが分かる。
(b) 同様に $\land$ についても、交換則は明らかに成り立つことが分かる。
さらに、演算 $\land$ の単位元が１であること、すなわち、任意の $x \in S$ に対して
\begin{align}
x \land 1 &= 1 \land x = x
\end{align}
も成り立つことが分かる。
結合則について、すべての場合について確かめると
\begin{align}
(1 \land 1) \land 1 &= 1 \land 1 \\
&= 1 \\
1 \land (1 \land 1) &= 1 \land 1 \\
&= 1 \\
(1 \land 1) \land 0 &= 1 \land 0 \\
&= 0 \\
1 \land (1 \land 0) &= 1 \land 0 \\
&= 0 \\
(1 \land 0) \land 1 &= 0 \land 1 \\
&= 0 \\
1 \land (0 \land 1) &= 1 \land 0 \\
&= 0 \\
(1 \land 0) \land 0 &= 0 \land 0 \\
&= 0 \\
1 \land (0 \land 0) &= 1 \land 0 \\
&= 0 \\
(0 \land 1) \land 1 &= 0 \land 1 \\
&= 0 \\
0 \land (1 \land 1) &= 0 \land 1 \\
&= 0 \\
(0 \land 1) \land 0 &= 0 \land 0 \\
&= 0 \\
0 \land (1 \land 0) &= 0 \land 0 \\
&= 0 \\
(0 \land 0) \land 1 &= 0 \land 1 \\
&= 0 \\
0 \land (0 \land 1) &= 0 \land 0 \\
&= 0 \\
(0 \land 0) \land 0 &= 0 \land 0 \\
&= 0 \\
0 \land (0 \land 0) &= 0 \land 0 \\
&= 0
\end{align}
となり、確かに交換速を満たしていることが分かる。
