$p$ を素数とする。$G$ を有限群とし、$|G| = p^a m\ (a \ge 0\ \mbox{で $m$ は $p$ と互いに素})$ と表す。
(a) $G$ の任意の $p$ 部分群に対して、それを含むシロー $p$ 部分群が存在する。
とくに、$\{1\}$ は $p$ 部分群なので、シロー $p$ 部分群は常に存在する。
(b) シロー $p$ 部分群の個数を $n_p$ とする。
このとき、$n_p$ は $|G|$ の約数であり、$n_p \equiv 1\ (\mbox{mod}\ p)$ が成り立つ。
(c) シロー $p$ 部分群は互いに共役である。
すなわち、$P_1, P_2$ をシロー $p$ 部分群とすると、$P_2 = g P_1 g^{-1}$ となる $g \in G$ が存在する。
以上の主張を「シローの定理」という。
これを証明せよ。
