3次元空間内の4点\(O(0, 0, 0), A(-1, 0, 2), B(1, -2, -1), C(2, -1, 3)\)について、次の問いに答えよ。
(1) 線分\(OA, OB\)を隣り合う2辺にもつ平行四辺形の面積を求めよ。
(2) 線分\(OA, OB, OC\)を隣り合う3辺にもつ平行六面体の体積を求めよ。
(1) 求める平行四辺形の面積\(S\)は、2つのベクトル\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{OB}\)の外積の大きさに等しい。従って
\[\begin{align}
S &= |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| \\
&= |(-1, 0, 2) \times (1, -2, -1)| \\
&= |(4, 1, 2)| \\
&= \sqrt{21}
\end{align}\]
と求まる。
(2) 求める平行六面体の体積\(V\)は、(1) で求めた\(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\)と\(\overrightarrow{OC}\)との内積の絶対値を取ったものに等しい。従って
\[\begin{align}
V &=|(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}| \\
&= |(4, 1, 2) \cdot (2, -1, 3)| \\
&= 13
\end{align}\]
と求まる。
