ベクトル解析

様々な微分演算子に関する公式

次の関係式が成り立つことを示せ。
\[\begin{align}
{\rm div}\left(f(\vec{r}) \vec{A}(\vec{r})\right) &= f(\vec{r}) {\rm div}\vec{A}(\vec{r}) + {\rm grad}f(\vec{r}) \cdot \vec{A}(\vec{r}) \\
{\rm rot}\ {\rm rot} \vec{A}(\vec{r}) &= {\rm grad}\ {\rm div} \vec{A}(\vec{r}) – \Delta \vec{A}(\vec{r}) \\
{\rm div}\left(\vec{A}(\vec{r}) \times \vec{B}(\vec{r})\right) &= \vec{B}(\vec{r}) \cdot {\rm rot}\vec{A}(\vec{r}) – \vec{A}(\vec{r}) \cdot {\rm rot}\vec{B}(\vec{r}) \\
{\rm rot}\ {\rm grad} f(\vec{r})& = 0 \\
{\rm div}\ {\rm rot} \vec{A}(\vec{r}) &= 0
\end{align}\]

Einstein の縮約、及び Levi-Civita の記号を利用して証明を行う。(こちらの記事を参照

\[\begin{align}
{\rm div}\left(f(\vec{r})\vec{A}(\vec{r})\right) &= \frac{\partial}{\partial x_i} \left(f(\vec{r}) A_{x_i}(\vec{r})\right) \\
&= \frac{\partial f(\vec{r})}{\partial x_i} A_{x_i}(\vec{r}) + f(\vec{r})\frac{\partial A_{x_i}(\vec{r})}{\partial x_i} \\
&= {\rm grad}f(\vec{r}) \cdot \vec{A}(\vec{r}) + f(\vec{r}) {\rm div}\vec{A}(\vec{r})
\end{align}\]

\[\begin{align}
\left({\rm rot}\ {\rm rot} \vec{A}(\vec{r})\right)_{x_i} &= \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j}\left({\rm rot}\vec{A}(\vec{r})\right)_{x_k} \\
&=\epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j} \epsilon_{klm} \frac{\partial A_{x_m}(\vec{r})}{\partial x_l} \\
&=(\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmk}) \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial A_{x_m}(\vec{r})}{\partial x_l} \\
&=(\delta_{i,l} \delta_{j,m} – \delta_{i,m} \delta_{j,l}) \frac{\partial^2 A_{x_m}(\vec{r})}{\partial x_j \partial x_l} \\
&= \frac{\partial^2 A_{x_j}(\vec{r})}{\partial x_j \partial x_i} – \frac{\partial^2 A_{x_i}(\vec{r})}{\partial x_j \partial x_j} \\
&= \left({\rm grad}\ {\rm div}\vec{A}(\vec{r})\right)_{x_i} – \Delta \vec{A}_{x_i}(\vec{r})
\end{align}\]

\[\begin{align}
{\rm div}\left(\vec{A}(\vec{r}) \times \vec{B}(\vec{r})\right) &=
\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\vec{A}(\vec{r}) \times \vec{B}(\vec{r})\right)_{x_i} \\
&= \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \epsilon_{ijk} A_{x_j}(\vec{r}) B_{x_k}(\vec{r}) \right) \\
&= \epsilon_{kij} \frac{\partial A_{x_j}(\vec{r})}{\partial x_i} B_{x_k}(\vec{r}) – A_{x_j}(\vec{r})\epsilon_{jik} \frac{\partial B_{x_k}(\vec{r})}{\partial x_i} \\
&= {\rm rot} \vec{A}(\vec{r}) \cdot \vec{B}(\vec{r}) – \vec{A} \cdot {\rm rot}\vec{B}(\vec{r})
\end{align}\]

\[\begin{align}
\left({\rm rot}\ {\rm grad} f(\vec{r})\right)_{x_i} &=
\epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j} \left({\rm grad}f(\vec{r})\right)_{x_k} \\
&= \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_k} f(\vec{r}) \\
&= \epsilon_{ikj} \frac{\partial^2}{\partial x_k \partial x_j} f(\vec{r}) \\
&= – \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_k} f(\vec{r}) \\
&= 0
\end{align}\]
ここで2行目から3行目において\(j\)と\(k\)を入れ替えても値が変わらないことを用いた。

\[\begin{align}
{\rm div}\ {\rm rot}\vec{A}(\vec{r}) &=
\frac{\partial}{\partial x_i} \left({\rm rot}\vec{A}(\vec{r})\right)_{x_i} \\
&= \frac{\partial}{\partial x_i} \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_{x_k}(\vec{r})}{\partial x_j} \\
&= \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 A_{x_k}(\vec{r})}{\partial x_i \partial x_j} \\
&= 0
\end{align}\]
ここで3行目から4行目は\(i\)と\(j\)を入れ替えても値は変わらないことを用いた。

このように、Einstein の縮約と Levi-Civita の記号は、ベクトル積や微分演算子の計算を非常に簡便に行うことが出来る。