解析

高次方程式の有理数解

次の方程式を解け。
\[
12 x^3 + 10 x^2 – 8 x + 1 = 0
\]

方程式
\[
12 x^3 + 10 x^2 – 8 x + 1 = 0
\]
において、\(x = \frac{1}{6}\)を代入すると、この方程式を満たすことから、因数\((6 x – 1)\)を持つことが分かる。
従って、因数分解すると
\[
(6 x – 1)(2 x^2 + 2 x – 1) = 0
\]
となり、解は
\[
x = \frac{1}{6},\ \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\]
と求まる。

整数係数の代数方程式
\[
a_n x^n + a_{n – 1} x^{n – 1} + \cdots + a_0 = 0
\]
が有理数解を持つ場合、その解\(\alpha\)は
\[
\alpha = \pm \frac{\mbox{\(|a_0|\)の約数}}{\mbox{\(|a_n|\)の約数}}
\]
であることを使って因数を見付ける事が出来る。

この証明は、あとの記事を参照して欲しい。