解析

関数空間における距離関数

閉区間\([-1, 1]\)上で定義される実数値連続関数全体の集合を\(C[-1, 1]\)で表す。この時、次の二つの関数を定義する。
\[\begin{align}
d_0 &: C[-1, 1] \times C[-1, 1] \to \mathbb{R}^1,\ d_0(f, g) = \sup\left\{|f(x) – g(x)|| -1 \le x \le 1 \right\} \\
d_1 &: C[-1, 1] \times C[-1, 1] \to \mathbb{R}^1,\ d_1(f, g) = \int_{-1}^{1} |f(x) – g(x)| dx
\end{align}\]
\(d_0, d_1\)は距離関数である。

また、\(f : [-1, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = x\)、\(g : [-1, 1] \to \mathbb{R}, g(x) 1 – x^2\)とする。このとき

(1) \(d_0(f, g)\)と\(d_1(f, g)\)を求めよ。

(2) 距離\(d_1\)について、\(\epsilon = 1\)としたとき、\(g\)の\(\epsilon-\)近傍に属する関数\(h : [-1, 1] \to \mathbb{R}\)の例を1つ挙げよ。ただし、\(g \neq h\)となるようにすること。

(1) まず\(d_0(f, g)\)を求める。
\[
h(x) = f(x) – g(x) = x – (1 – x^2) = x^2 + x -1
\]
とすると、
\[
h'(x) = 2 x – 1
\]
に注意して、\(h(x)\)と\(|h(x)|\)の増減表を作ると
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|}
x & -1 & \cdots & – \frac{1}{2} & \cdots & \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} & \cdots & 1 \\ \hline
h'(x) & – & – & 0 & + & + & + & + \\ \hline
h(x) & -1 & \searrow & – \frac{5}{4} & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
|h(x)| & 1 & \nearrow & \frac{5}{4} & \searrow & 0 & \nearrow & 1 \\
\end{array}
\]
となるので、
\[\begin{align}
d_0(f, g) &= \sup\{|f – g|| -1 \le x \le 1 \} \\
&= \sup\{|h(x)|| -1 \le x \le 1 \}\\
&= \frac{5}{4}
\end{align}\]
と求まる。

次に\(d_1(f, g)\)を求めると
\[\begin{align}
d_1(f, g) &= \int_{-1}^{1} | f(x) – g(x) | dx \\
&= \int_{-1}^{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}( – x^2 – x + 1) dx + \int_{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}^{1}(x ^2 + x – 1) dx \\
&= \frac{5 \sqrt{5} -1}{6}
\end{align}\]
となる。ここで積分計算は、\(\alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)とする時、\(\alpha^2 + \alpha – 1 = 0\)なる関係が成り立つことを利用すると計算が楽になる。

(2)
\[
h(x) = k x + g(x) = k x + ( 1 – x^2)
\]
として、どのような\(k\)が\(g\)の\(\epsilon\)-近傍にあるかを考える。ここに簡単のために\(k > 0\)とする。
(先に定義した\(h\)とは別の事なので注意して欲しい。)

\[\begin{align}
d_1(h, g) &= \int_{-1}^{1} |h(x) – g(x)| dx \\
&= \int_{-1}^{1} k |x| dx \\
&= k
\end{align}\]
すなわち\(k<1\)と取れば、\(h(x)\)は\(g\)の\(\epsilon\)-近傍にある事が分かる。