解析

重積分の計算

\(xy\)平面における領域\(D = \left\{(x, y)|x^2 + y^2 \le 2 y, x \ge 0 \right\}\)に対して、次の重積分を計算せよ。
\[
\int\int_D x y^2 {\rm d}x {\rm d}y
\]

領域\(D\)は次のようにして、極座標表示で表すと
\[\begin{align}
x^2 + y^2 &\le 2 y \\
x^2 + (y – 1)^2 &\le 1
\end{align}\]
となるので
\[\begin{align}
x &= r \cos\theta \\
y &= 1 + r \sin\theta
\end{align}\]
として
\[\begin{align}
0 \le &r \le 1 \\
– \frac{\pi}{2} \le &\theta \le \frac{\pi}{2}
\end{align}\]
なる領域と表すことが出来る。従って、求めるべき重積分は
\[\begin{align}
\int\int_D x y^2 {\rm d}x {\rm d}y
&= \int_0^1 r {\rm d}r \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {\rm d}\theta\ r \cos\theta (1 + r \sin\theta)^2 \\
&= \int_0^1 r {\rm d}r \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {\rm d}\theta\ r \cos\theta (1 + 2 r \sin\theta + r^2 \sin^2\theta)
\end{align}\]
と変形出来るが、ここで
\[\begin{align}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {\rm d}\theta \cos\theta & = \left[\sin\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \\
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {\rm d}\theta \cos\theta \sin\theta &= \left[\frac{1}{2}\sin^2\theta \right]_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 0 \\
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} {\rm d}\theta \cos\theta \sin^2\theta &= \left[\frac{1}{3}\sin^3\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} \\
\int_0^1 r^2 {\rm d}r &= \frac{1}{3} \\
\int_0^1 r^4 {\rm d}r &= \frac{1}{5}
\end{align}\]
に注意すれば、求めるべき重積分の値は
\[
\frac{1}{3}\cdot 2 + \frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{5}
\]
と求まる。

Jacobian を考慮して
\[
{\rm d}x\ {\rm d}y = r\ {\rm d}r\ {\rm d}\theta
\]
となることに注意する必要がある。