解析

連立微分方程式

\(t\)を独立変数とする連立微分方程式
\[
\frac{{\rm d} x}{y + z} = \frac{{\rm d} y}{z + x} = \frac{{\rm d} z}{x + y} = {\rm d} t
\]
について、次の問いに答えよ。

(1) 上の連立微分方程式の解で、\(t = 0\)のとき\(x(0) = -1, y(0) = 0, z(0) = 2\)であるものを求めよ。

(2) (1)で求めた解について、\(x(t) = 0\)となる\(t\)の値、および\(z(t)\)が\(t \ge 0\)における最小値をとる\(t\)の値をそれぞれ求めよ。

(1) 与えられた微分方程式を分けて書くと
\[\begin{align}
\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} &= y + z \\
\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t} &= z + x \\
\frac{{\rm d} z}{{\rm d} t} &= x + y
\end{align}\]
となる。この3式を全て足し合わせると
\[
\frac{\rm d}{{\rm d} t}(x + y + z) = 2 (x + y + z)
\]
となる。この微分方程式の解は\(C\)を定数として
\[
x(t) + y(t) + z(t) = C {\rm e}^{2 t}
\]
と書ける。\(t = 0\)における条件
\[
x(0) + y(0) + z(0) = -1 + 0 + 2 = 1
\]
から
\[
C = 1
\]
と求まる。すなわち
\[
x(t) + y(t) + z(t) = {\rm e}^{2 t}
\]
となる。

この解を使えば、\(x\)に関する微分方程式は
\[
\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} = y + z = – x(t) + {\rm e}^{2 t}
\]
となる。この微分方程式の解を定数変化法で解く。
\[
x(t) = C_x(t) {\rm e}^{-t}
\]
とおくと
\[
\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} = \left(\frac{\rm d}{{\rm d} t} C_x(t) \right) {\rm e}^{- t} – C_x(t) {\rm e}^{-t}
\]
より、\(C_x(t)\)を決める微分方程式は
\[
\frac{\rm d}{{\rm d} t} C_x(t) = {\rm e}^{3 t}
\]
と求まる。\(x(0) = -1\)なる初期条件は\(C_x(0) = -1\)を意味するので
\[
C_x(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{3 t} – \frac{4}{3}
\]
となり、結局
\[
x(t) = \left(\frac{1}{3} {\rm e}^{3 t} – \frac{4}{3}\right) {\rm e}^{-t} = \frac{1}{3} {\rm e}^{2 t} – \frac{4}{3} {\rm e}^{- t}
\]
と求まる。

同様に\(y(t)\)を決める微分方程式
\[
\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t} = z + x = – y(t) + {\rm e}^{2 t}
\]
に対して
\[
y(t) = C_y(t) {\rm e}^{- t}
\]
とすると、\(C_y(t)\)を決める微分方程式は
\[
\frac{\rm d}{{\rm d} t} C_y(t) = {\rm e}^{3 t}
\]
であり、初期条件\(y(0) = 0\)から\(C_y(0) = 0\)となるように積分定数を選ぶと
\[
C_y(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{3 t} – \frac{1}{3}
\]
となる。従って
\[
y(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{2 t} – \frac{1}{3} {\rm e}^{- t}
\]
と求まる。

\(z(t)\)に対しても同様にして
\[
\frac{{\rm d} z}{{\rm d} t} = x + y = – z(t) + {\rm e}^{2 t}
\]
から、
\[
z(t) = C_z(t) {\rm e}^{- t}
\]
とおいて、初期条件\(z(0) = 2\)が\(C_z(0) = 2\)となる事に注意すれば
\[
C_z(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{3 t} + \frac{5}{3}
\]
となるので
\[
z(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{2 t} + \frac{5}{3} {\rm e}^{- t}
\]
と求まる。

(2)
\[
x(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{2 t} – \frac{4}{3} {\rm e}^{-t} = 0
\]
を解けば
\[
t = \frac{2}{3} \log 2
\]
と求まる。

\[
z(t) = \frac{1}{3} {\rm e}^{2 t} + \frac{5}{3} {\rm e}^{- t}
\]
において、\(t\)で微分することにより
\[
z'(t) = \frac{2}{3} {\rm e}^{2 t} – \frac{5}{3} {\rm e}^{- t}
\]
が得られる。\(z'(t) = 0\)となる\(t\)を求めると
\[
t = \frac{1}{3} \log\frac{5}{2}
\]
となり、\(t \ge 0\)において増減表を書くと
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
t & 0 & \cdots & \frac{1}{3} \log\frac{5}{2} & \cdots \\ \hline
z'(t) & & – & 0 & + \\ \hline
z(t) & 2 & \searrow & & \nearrow \\
\end{array}
\]
となるので、\(t \ge 0\)における\(z(t)\)の最小値は
\[
t = \frac{1}{3} \log\frac{5}{2}
\]
の時であると分かる。