解析

逆正弦関数の積分

次の問いに答えなさい。ただし、\(\arcsin x\)(逆正弦関数)は\(- \frac{\pi}{2}\)以上\(\frac{\pi}{2}\)以下の値をとるものとします。

(1) 次の不定積分を求めなさい。
\[
\int \arcsin 2x {\rm d} x
\]

(2) \(xy\)平面上のグラフ\(y = \arcsin 2x (- \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2})\)と\(x\)軸、および2直線\(x = – \frac{1}{2}, x = \frac{\sqrt{3}}{4}\)で囲まれた面積を求めなさい。

(1) まずは、簡単のために
\[
\int \arcsin x {\rm d} x
\]
の不定積分を求める。部分積分を1回することにより
\[\begin{align}
\int \arcsin x {\rm d} x &= x \arcsin x – \int x \left( \arcsin x \right)’ {\rm d} x \\
&= x \arcsin x – \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} + C \\
&= x \arcsin x + \sqrt{1 – x^2} + C’
\end{align}\]
となる。ここに\(C, C’\)は積分定数である。

したがって、
\[\begin{align}
\int \arcsin 2x {\rm d} x &= \frac{1}{2} \arcsin 2x {\rm d} 2x \\
&=\frac{1}{2}(2 x \arcsin 2x + \sqrt{1 – (2 x)^2} + C” \\
&= x \arcsin 2x + \frac{\sqrt{1 – 4 x^2}}{2} + C”
\end{align}\]
ここに\(C”\)は積分定数である。

(2) \(\arcsin 2x\)のグラフは\(x \le 0\)において0以下の値を取り、\(x \ge 0\)において0以上の値を取る事に注意して、求める面積は
\[\begin{align}
&- \int_{-\frac{1}{2}}^{0} \arcsin 2x {\rm d} x + \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \arcsin 2 x {\rm d} x \\
&=- \left[x \arcsin 2x + \frac{\sqrt{1 – 4 x^2}}{2}\right]_{-\frac{1}{2}}^{0} \\
& \ \ \ + \left[x \arcsin 2x + \frac{\sqrt{1 – 4 x^2}}{2}\right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \\
&= – \frac{1}{2} + \left(- \frac{1}{2} \right) \arcsin(-1) + \frac{\sqrt{3}}{4} \arcsin(\sqrt{3}/2) + \frac{\sqrt{1 – 4 (\sqrt{3}/4)^2}}{2} – \frac{1}{2} \\
&= \frac{3 + \sqrt{3}}{12} \pi – \frac{3}{4}
\end{align}\]
と求まる。