解析

積分方程式と微分方程式

\(x \ge 0\)において定義されたなめらかな曲線\(y = f(x)\)(ただし、\(f(x) > 0\) で定数でない)があり、\(f(0) = 1\)を満たしている。定数\(a \ge 0\)に対して、曲線の\(0 \le x \le a\)の部分、\(x\)軸、\(y\)軸および直線\(x = a\)で囲まれた部分の面積を\(S(a)\)とする。また、曲線\(0 \le x \le a\)の部分の長さを\(l(a)\)とする。
この曲線があらゆる\(a \ge 0\)に対して\(S(a) = l(a)\)を満たすとき、\(f(x)\)を求めよ。

\(S(a), l(a)\)を各々、\(y = f(x)\)を使って表すと
\[\begin{align}
S(a) &= \int_0^a y {\rm d} x \\
l(a) &= \int_0^a \sqrt{1 + (y’)^2} {\rm d} x
\end{align}\]
であるので、求められている条件は
\[\begin{align}
S(a) &= l(a) \\
\int_0^a y {\rm d} x &= \int_0^a \sqrt{1 + (y’)^2} {\rm d} x
\end{align}\]
である。任意の\(a \ge 0\)なる\(a\)について上の関係を満たすための必要十分条件は
\[
y = \sqrt{1 + (y’)^2}
\]
であるので、この微分方程式の解を見付ければ良い。
\[\begin{align}
y^2 &= 1 + (y’)^2 \\
y^2 – 1 &= (y’)^2 \\
1 – y^2 &= \left({\rm i} \frac{{\rm d} y}{{\rm d}x}\right)^2 \\
\pm \sqrt{1 – y^2} &= {\rm i} \frac{{\rm d} y}{{\rm d} x} \\
{\rm i} {\rm d} x &= \pm \frac{{\rm d} y}{\sqrt{1 – y^2}} \\
{\rm i} x + C &= \pm \sin^{-1} y
\end{align}\]
ここに、\(C\)は積分定数であり、条件\(x = 0\)のとき\(y=1\)から
\[\begin{align}
C &= \pm \sin^{-1}1 \\
&= \pm \frac{\pi}{2}
\end{align}\]
と求まる。従って
\[\begin{align}
{\rm i} x \pm \frac{\pi}{2} &= \sin^{-1} y \\
y &= \sin\left({\rm i} x \pm \frac{\pi}{2}\right) \\
&= \frac{{\rm e}^{{\rm i}({\rm i} x \pm \pi/2)} – {\rm e}^{-{\rm i}({\rm i} x \pm \pi/2)}}{2 {\rm i}} \\
&= \frac{{\rm e}^{- x}(\pm {\rm i}) – {\rm e}^{x}(\mp {\rm i})}{2 {\rm i}} \\
&= \pm \frac{{\rm e}^x + {\rm e}^{- x}}{2}
\end{align}\]
ここに複合同順である。今、\(y = f(x) > 0\)であるので、
\[
y = \frac{{\rm e}^x + {\rm e}^{- x}}{2}
\]
と求まる。