解析

無限連分数

下の無限連分数は収束します。その極限値を求めなさい。
\[
\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}
\]

与えられた無限連分数が\(x\)に収束するとすると
\[\begin{align}
x &= \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\ddots}}}}} \\
x &= \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + x}} \\
(2 + \frac{1}{3 + x}) x &= 1 \\
2 x^2 + 6 x -3 &=0
\end{align}\]
この2次方程式を解くと
\[
x = \frac{- 3 \pm \sqrt{15}}{2}
\]
と2つの解が得られるが、明らかに\(x>0\)であるので
\[
x = \frac{- 3 + \sqrt{15}}{2}
\]
と求まる。